Mostrando $\mathbb{Q}(2^{1/3}+2^{1/5})=\mathbb{Q}(2^{1/3},2^{1/5})$

Question

Con el fin de demostrar $[\mathbb{Q}(2^{1/3}+2^{1/5}):\mathbb{Q}]=15$, quiero mostrarles $\mathbb{Q}(2^{1/3}+2^{1/5})=\mathbb{Q}(2^{1/3},2^{1/5})$. Alguna sugerencia?

Answer 1

$F:=\mathbb Q(2^{1/3}+2^{1/5})$ es un subcampo de la $E:=\mathbb Q(2^{1/3},2^{1/5})=\mathbb Q(2^{1/15})$. Suponga $F\ne E$. Desde $[E:\mathbb Q]=15$, llegamos a la conclusión de $[F:\mathbb Q]=3$ o $=5$. Claramente $2^{1/3}\notin F$ ya que de lo contrario también se $2^{1/5}=(2^{1/3}+2^{1/5})-2^{1/3}\in F$ un dthus $F=E$. Del mismo modo, $2^{1/5}\notin F$.

Suponga $[F:\mathbb Q]=3$. A continuación,$1<[F(2^{1/3}):F]\le 3$$[F(2^{1/3}):F]\cdot [E:F(2^{1/3})]=5$, contradicción.

Suponga $[F:\mathbb Q]=5$. Luego de$1<[F(2^{1/5}):F]\le 5$$[F(2^{1/5}):F]\cdot [E:F(2^{1/5})]=3$, obtenemos $[F(2^{1/15}):F]=3$.

Answer 2

Vamos $K=\mathbb{Q}(\zeta_{15})$, $L=K(2^{1/3}+2^{1/5})$, y $M=K(2^{1/5},2^{1/3})=K(2^{1/15})$. Uno puede fácilmente comprobar $M/K$ es cíclico Galois de grado 15. Desde $2^{1/5}=2^{1/3}+2^{1/5}-2^{1/3}$, $M=L(2^{1/3})$, por lo $M/L$ tiene grado a lo sumo 3. Debido a $[M:L]$ debe dividir 15, $M/L$ tiene grado 1 o 3, y $L/K$ tiene grado 5 o 15.

Supongamos $L/K$ tiene grado 5. Desde $M/K$ es cíclica, es decir, sólo hay un grado 5 subextension, por lo $L=K(2^{1/5})$. A continuación, $2^{1/3}=2^{1/3}+2^{1/5}-2^{1/5}$ se encuentra en $L$, lo $L=M$, lo que contradice el hecho de que $L/K$ tiene el grado $5$. Por lo tanto $L/K$ tiene el grado 15. Por lo tanto $2^{1/3}+2^{1/5}$ no satisface un polinomio de grado menor que 15 $K$.

Desde $\mathbb{Q}\subseteq K$, se deduce que el polinomio mínimo de más de $\mathbb{Q}$ tiene un grado mínimo de $15$. Por lo tanto $[\mathbb{Q}(2^{1/3}+2^{1/5}):\mathbb{Q}]\geq 15$. Pero la única subextension de $\mathbb{Q}(2^{1/3},2^{1/5})/\mathbb{Q}$ con grado de al menos 15 $\mathbb{Q}(2^{1/3},2^{1/5})$, lo $\mathbb{Q}(2^{1/3}+2^{1/5})=\mathbb{Q}.(2^{1/3},2^{1/5})$.