$\frac{1}{e}=$"Probabilidad de que cada chocolate entra en un lugar equivocado".

Question

Mientras ve un vídeo Po Shen Loh me pareció algo extraño.En el video, dijo que:

Supongamos que tengo una caja de chocolates tener $100$ chocolates, y me deje caer en el suelo, y entonces yo trate de poner a todos de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de que cada chocolate volvió en un lugar equivocado?

Según él, la probabilidad es $\frac{1}{e}$. Ahora la pregunta es que ¿Cómo podemos llegar??? Para mí, es tan interesante como la Aguja de Buffon problema, que la iss por qué estoy ansioso por saber el método para llegar a $\frac{1}{e}$. Voy a estar agradecido si ustedes me puede dar idea acerca de lo que está pasando (¿Por $\frac{1}{e}$).

Gracias

Answer 1

No es exactamente $\dfrac{1}{e}$. Sin embargo, la probabilidad de enfoques $\dfrac{1}{e}$ como el número de chocolates tiende a infinito.

Lo que nos están contando son las permutaciones $\{1,..,n\}$ que no tienen un punto fijo que es $\sigma(i)\not=i$ por cada $i$. Estos son los llamados trastornos. El método habitual para el conteo de los trastornos es mediante la inclusión-exclusión en el principio que da que hay $$n!\sum_{i=0}^n\dfrac{(-1)^i}{i!}$$ las alteraciones más de $\{1,..,n\}$. Puesto que hay un total de $n!$ permutaciones que significa que la probabilidad de que permutación aleatoria para ser un trastorno es $$\sum_{i=0}^n\dfrac{(-1)^i}{i!}$$ que tiende a $\dfrac{1}{e}$ $n\rightarrow\infty$ según la fórmula $$e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\dfrac{x^i}{i!}$$

Answer 2

Usted está interesado en el número de Alteraciones de la serie de $100$ chocolates.

En esta respuesta, el número de Alteraciones de $n$ elementos se muestra a $$ \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!}{k!} $$ que es el entero más cercano a$\frac{n!}e$$n\ge1$. Desde allí se $n!$ formas de organizar la $n$ items, la probabilidad de conseguir todos los objetos en el lugar equivocado es $$ \sum_{k=0}^n(-1)^k\frac1{k!}\aprox\frac1e $$ Tenga en cuenta que esto es aproximado, no es exactamente $\frac1e$. Por la Alternancia de la Serie Teorema, el error es menor que $\frac1{(n+1)!}$ que es muy pequeño, pero no $0$. Para $n=100$, el error es menor que $\frac1{101!}\approx1.06\times10^{-160}$. En particular:

$$ \begin{array}{r} \begin{array}{r}\scriptsize{p =0.3678794411714423215955237701614608674458111310317678345078368016974614957448998}\\ \scriptsize{03357147274345919643746627325276843995208246975792790129008626653589494098783092\color{#C00}{299}}\end{de la matriz}\\[12pt] \begin{array}{r}\scriptsize{\frac1e =0.3678794411714423215955237701614608674458111310317678345078368016974614957448998}\\ \scriptsize{03357147274345919643746627325276843995208246975792790129008626653589494098783092\color{#C00}{194}}\end{array} \end{array} $$