Números que son divisibles por la suma de sus factores primarios.

Question

Estaba revisando algunos viejos problemas de las olimpiadas que solía practicar cuando estaba en la escuela secundaria y encontré un problema que no podía resolver (y todavía no puedo).

La pregunta es: llamemos a un número entero positivo soleado si es divisible por la suma de sus factores primarios. Por ejemplo, $90=2.3^2.5$ es soleado porque $2+3+5=10 \mid 90$ . Demuestre que hay un número soleado con al menos $10^{2002}$ factores principales.

Creo que el número $10^{2002}$ no tiene nada especial y entonces es posible probar que dado un entero positivo $k$ hay un número soleado $n$ con $ \omega (n) \ge k$ (aquí $ \omega (.)$ significa el número de factores primarios), pero no tengo ideas sobre cómo abordar este problema. Cualquier ayuda será apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Llamamos bueno a un conjunto de números primos si la suma de sus elementos no tiene ningún divisor primo fuera de $A$ .

Su problema es claramente equivalente a demostrar que hay conjuntos buenos de tamaño arbitrario. Demostramos que para cada $n$ , un buen conjunto de tamaño $n$ o $n+1$ existe:

Considere el conjunto $A=\{p_1,p_2,\dots p_n\}$ de la primera $n$ primos y dejar que $q$ sea su suma. Obsérvese que $q\leq n p_n$ Así que si $A$ no es bueno entonces $q=pm$ con $m<n$ y $p$ un primo mayor que $p_n$ . El conjunto $\{p_1,p_2,\dots, p_n,p\}$ es por tanto buena, ya que la suma de sus elementos es $p(m+1)$ y como $m+1\leq n$ claramente todos sus factores primos están entre $\{p_1,p_2,\dots, p_n,p\}$

Answer 2

Ligeramente probabilístico:

Comienza con $2$ y añadir $10^{2002}-2$ grandes primos sobre (digamos) $1000$ a esto (este total es par). A continuación, compruebe si alguna prima impar bajo $1000$ puede añadirse a esto para convertir la suma en un nuevo número primo enorme $p_M$ . Si no es así, añada otros dos primos grandes e inténtelo de nuevo, hasta que un primo enorme alcanzable $p_M$ se encuentra.

A continuación, añada $p_M$ en el total también. El total de los primos es $2p_M$ que también divide el producto de todos los primos contribuyentes.

Answer 3

• El cuadrado de cada número par de sol es también de sol,

• 30 es uniforme y soleado

• por lo que cualquier número de la forma $30^{2^n}$ es soleado y tiene $3(2^n)$ factores primos

$$ 3(2^n) > 10^{2002} \iff n>\log_2(\frac{10^{2002}}{3}) $$

lo cual es ciertamente posible.