Demostrar que la ecuación de $\sqrt{ax+\alpha}+\sqrt{bx+\beta}+\sqrt{cx+\gamma}=0$ se reduce a una simple ecuación.

Question

Yo tengo una pregunta que parece seguir:

Demostrar que la ecuación de $\sqrt{ax+\alpha}+\sqrt{bx+\beta}+\sqrt{cx+\gamma}=0$ se reduce a una simple ecuación si $\sqrt{a}\pm\sqrt{b}\pm\sqrt{c}=0$.

Estoy totalmente confundida y no sé ni de donde debo empezar.

Nota al margen: no sé lo que es una simple ecuación (creo que es algo que no es sucio como la ecuación dada).

Cualquier sugerencia/sugerencia es cordialmente la bienvenida. Gracias.

Answer 1

Esta pregunta tiene más sentido cuando no limitamos outselves a los números reales.

Para cualquier $n = d + 1 > 1$$u = (u_0, u_1, \ldots, u_d) \in \mathbb{C}^n$, considere el siguiente producto

$$\Lambda(u_0,\ldots,u_d) = \prod_{(\epsilon_1,\ldots,\epsilon_d) \in \{ \pm 1 \}^d} \left( \sqrt{u_0} + \sum_{k=1}^d \epsilon_k \sqrt{u_k} \right)\etiqueta{*1} $$ Podemos expandir $\Lambda(\cdots)$ a un polinomio homogéneo en $\sqrt{u_k}$ grado $2^d$

$$\Lambda(u_1,\ldots,u_d) = \sum_{(e_0,\ldots,e_d)\in \mathbb{N}^n} A_{e_0,\ldots,e_d} \prod_{k=0}^d\sqrt{u_k}^{e_k} \etiqueta{*2} $$ cuyos coeficientes $A_{e_0,\ldots,e_d} \in \mathbb{Z}$ y desaparecen a menos que $e_0 + \ldots + e_d = 2^d$.

Tener en cuenta el efecto de cambiar el signo de $\epsilon_\ell$ algunos $\ell \ge 1$$\Lambda(\cdots)$.

• En $(*1)$, este reorganizar el orden de los productos, pero deja el valor de $\Lambda(\ldots)$ virgen.
• En $(*2)$, el coeficiente de $A_{e_0,\ldots,e_d}$ recoge un factor de $(-1)^{e_\ell}$.

Dado que el valor del producto no cambia, $A_{e_0,\ldots,e_d}$ a menos que se desvanece $e_\ell$ es incluso. Como esto es cierto para todos los $\ell \ge 1$ $A_{e_0,\ldots,e_d}$ a menos que se desvanece $e_0 + \cdots + e_d = 2^d$, $A_{e_0,\ldots,e_d}$ también se desvanece a menos $e_0$ es incluso. Esto implica en expansión $(*2)$, todas las raíces cuadradas se han completado.

Como resultado, $\Lambda(\cdots)$ es un polinomio homogéneo en $u_0,\ldots, u_d$ grado $2^{d-1}$:

$$\Lambda(u_1,\ldots,u_d) = \sum_{(e_0,\ldots,e_d)\in \mathbb{N}^n} B_{e_0,\ldots,e_d} \prod_{k=0}^du_k^{e_k} \etiqueta{*3} $$ cuyos coeficientes $B_{e_0,\ldots,e_d} \in \mathbb{Z}$ y desaparecen a menos que $e_0 + \ldots + e_d = 2^{d-1}$.

Si $\sqrt{u_0} \pm \sqrt{u_1} \pm \cdots \pm \sqrt{u_d} = 0$ para cualquier elección de signo de la raíz cuadrada, entonces, por construcción, $u_0, \ldots, u_d$ necesidad de satisfacer la ecuación polinómica $\Lambda(u_0,\ldots,u_d) = 0$.

Para el problema en la mano, tome $n = 3$, y el sustituto de $(u_0,u_1,u_2)$$ (ax + \alpha, bx+\beta, cx+\gamma)$.
La ecuación de $\sqrt{a x + \alpha} \pm \sqrt{b x + \beta} \pm \sqrt{cx + \gamma} = 0$ conduce a un homogénea de la ecuación polinómica en $ax, bx, cx, \alpha, \beta, \gamma$ grado $2$:

$$\Lambda(ax+\alpha, bx+\beta, cx+\gamma) = 0$$

Ampliar este polinomio en contra de $x$, obtenemos una ecuación de segundo grado en $x$:

$$C(\cdots) x^2 + D(\cdots) x + E(\cdots) = 0$$

Es fácil ver los coeficientes $C(\cdots)$ sólo depende de $(a,b,c)$. Mediante el establecimiento $x$$1$$\alpha, \beta, \gamma$%#%, nos encontramos con $0$. Mediante el establecimiento $C(\cdots) = \Lambda(a,b,c)$$x$, nos encontramos con $0$. Este conduce a una ecuación de la forma:

$E(\cdots) = \Lambda(\alpha,\beta,\gamma)$$

Ahora se trata de la condición misteriosa $$\Lambda(a,b,c)x^2 + D(\cdots)x + \Lambda(\alpha,\beta,\gamma) = 0$. Cuando esta condición se cumple, $\sqrt{a} \pm \sqrt{b} \pm \sqrt{c} = 0$. Ecuación anterior se simplifica a una ecuación lineal en $\Lambda(a,b,c) = 0$.

$x$$

Podemos determinar la última desconocido coeficiente de $$D(\cdots)x + \Lambda(\alpha,\beta,\gamma) = 0$ mediante el establecimiento $D(\cdots)$$x$. Al final, hemos

Al $1$, entonces la ecuación $\sqrt{a} \pm \sqrt{b} \pm \sqrt{c} = 0$ conduce a una ecuación lineal en la $\sqrt{ax+\alpha} \pm \sqrt{bx+\beta} \pm \sqrt{cx+\gamma} = 0$: $x$$ donde $$\Lambda(a+\alpha,b+\beta,c+\gamma)x + \Lambda(\alpha,\beta,\gamma)(1-x) = 0$$

En cierto sentido, se puede argumentar que esta ecuación es simple porque es la dependencia de $$\Lambda(u,v,w) = u^2 + v^2 + w^2 - 2(uv+vw+uw)$ es lineal. A diferencia del caso general donde $x$, la solución para $\Lambda(a,b,c) \ne 0$ ya no se trata de cualquier radicales. Si uno acepta esto es simple es hasta la propia sentencia. Para ser honesto, yo no.