Teorema Fundamental de la Teoría de Galois - ¿Por qué mi libro tiene supuestos diferentes?

Question

La mayoría de los enunciados del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois que he visto en Internet lo dicen para extensiones finitas de Galois. Una extensión de Galois se define como aquella que es separable y normal. Así que la mayoría de los autores comenzarían el teorema con algo como esto:

Dejemos que $F$ sea un campo y $E$ una extensión finita, normal y separable de $F$ .

Mi texto dice:

Dejemos que $F$ sea un campo finito o un campo de característica $0$ . Supongamos que $E$ es una extensión finita y normal de $F$ .

¿Son equivalentes? Me cuesta ver esto.

Si $F$ tiene la característica $0$ : considerar cualquier $a \in E.$ Desde $E$ es normal también es algebraico, por lo que existe algún polinomio mínimo (irreducible) $f_a(x)$ en $F$ tal que $f_a(a) = 0.$ Desde $F$ tiene la característica $0$ sabemos que un polinomio irreducible es separable. Por lo tanto, para cada $a \in E$ sabemos que existe un $f_a(x)$ tal que $f_a(a) = 0$ y así $E$ debe ser una extensión separable.

Si $F$ es un campo finito: Obsérvese la característica de $F$ es algún primo $p$ . El mismo argumento general se aplica pero para campos finitos, no es cierto que cualquier polinomio irreducible $f(x)$ es separable. En cambio, tenemos la condición adicional de que $f(x)$ no es de la forma $g(x^p).$

Si podemos demostrar que el polinomio mínimo $f(x)$ no es de la forma $g(x^p)$ entonces esto demostraría que $E$ es una extensión separable. También tengo problemas para mostrar la otra dirección.

Answer 1

Los campos finitos y los campos de característica cero son ejemplos de campos perfectos que tienen la propiedad de que toda extensión finita es separable. Para campos de característica cero esto es bastante claro, mientras que para campos finitos lo importante es que el endomorfismo de Frobenius $x\mapsto x^p$ es suryente.

Así que la afirmación de su libro es menos general, y probablemente fue elegida para evitar tratar la separabilidad.

Answer 2

En un campo finito de orden $q$ es el producto de todos los polinomios irreducibles mónicos de grado que dividen a $n$ es $x^{q^n}-x$ . Por lo tanto, si se demuestra que $x^{q^n} - x$ es separable, entonces también lo es cualquier polinomio mínimo.

Puedes demostrar que un polinomio $f(x)$ tiene una raíz repetida en $x = a$ si y sólo si ambos $f(a)=0$ y $f'(a) = 0$ (aquí definimos formalmente la derivada de un polinomio como lo que sabemos que debe ser por el cálculo).

Dado que la derivada de $x^{q^n} - x$ es $-1$ , $x^{q^n} -x $ no tiene raíces repetidas. Es decir, es separable.