Casi siempre, cuando se trata de Física e Ingeniería, la respuesta a "¿Cómo se salen con la suya?" es sencilla: Consiguen respuestas correctas.
La función delta comenzó realmente con Heaviside, considerado el Padre de la Ingeniería Eléctrica moderna. Su versión de la función delta era la derivada de la función escalón. La función escalón describía lo que ocurría al accionar un interruptor. Heaviside desarrolló métodos abstractos de resolución de ecuaciones diferenciales de Ingeniería considerando los operadores de evolución antes de que esto fuera una idea bien formada en Matemáticas, reconociendo que los operadores de evolución asociados con sistemas invariantes en el tiempo como los circuitos tenían una propiedad exponencial. Tanto la función delta como la transformada de Laplace evolucionaron directamente a partir de los métodos de Heaviside. (Sin embargo, parece que los matemáticos bautizaron la transformada con el nombre de Laplace porque Heaviside era un capullo, y una integral parecida a la transformada había sido estudiada por Laplace). Los matemáticos estaban muy preocupados por sus métodos, especialmente cuando se trataba de expandir operadores en una serie binomial y aplicar eso a una función de impulso. La mayoría de la gente de la época habría tachado a Heaviside de chiflado si no fuera por un hecho importante: obtenía respuestas correctas y las verificaba. Cuando los matemáticos trataban de insistir en que Heaviside fuera más riguroso, él les decía que era "su trabajo" limpiarlo, lo que no hacía más simpáticos a los matemáticos.
Parece que Dirac recogió el formalismo del trabajo de Heaviside que se produjo varias décadas antes del trabajo de Dirac. También él obtuvo respuestas correctas. Con el tiempo, los matemáticos llegaron a un formalismo riguroso (en realidad, más de uno) para estudiar la función delta. Pero este trabajo no es sencillo. Sin embargo, resultó ser increíblemente útil a nivel teórico a la hora de estudiar las EDP, especialmente los operadores elípticos. Así que los Matemáticos hicieron su trabajo, y mucho (pero no todo) de lo que los Físicos hacen con $\delta$ tiene sentido en ese contexto avanzado.
¿Tienen suerte los físicos de que todo salga bien? La verdad es que no. Había una gran intuición detrás de los métodos que conducían a las respuestas, y la gente comprobaba sus respuestas. Es fácil imaginar que por el camino se descartaron muchas ideas erróneas, "erróneas" quiere decir que daban respuestas equivocadas.
¿Por qué los físicos enseñan un enfoque intuitivo utilizando $\delta$ ¿funciones? La respuesta corta es la siguiente: no hay tiempo suficiente para que los físicos se conviertan en matemáticos antes de empezar Física. ¿Y quién toleraría muchos años de tediosas Matemáticas antes de poder empezar Física? La vida es corta y hay que hacer las cosas. Y al hacer las cosas, quizá avancemos en la Ciencia para acabar viviendo lo suficiente como para hacer más cosas de ese tipo, o nos volvamos lo suficientemente experimentados como para compactar las Matemáticas para que se enseñen a un nivel inferior.
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Puede encontrar alguna justificación si busca "funciones de prueba", "distribuciones" y "espacios de Schwartz".
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No es porque algo funcione para sumas finitas $\sum_k f(k) \delta_{x_k}$ y $\sum_k F(k) e^{i \omega_k x}$ que funciona para integrales $\int_{-\infty}^\infty f(y) \delta_{x-y} dy$ y $\int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i \omega x}d\omega$ . Ahora esos físicos han oído que los matemáticos demostraron que funciona "igual" con sumas finitas e integrales en esos casos, así que confían en nosotros y hacen como si estuviera permitido. Y en general, por supuesto que es una buena idea fijarse en las sumas finitas para obtener algunas ideas sobre las integrales.
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Y la mayoría de los no matemáticos definen $\delta(x)$ por $\int_{-\infty}^\infty g(x) \delta(x)dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\infty}^\infty g(x) \frac{1_{|x| < \epsilon}}{2 \epsilon}dx$ lo cual es perfectamente válido y suficiente para estar convencidos de cómo lo utilizamos en muchos casos.