Un interesante espacio topológico con $4$ elementos

Question

Existe un interesante espacio topológico $X$ con sólo cuatro elementos $\eta,\eta',x,x'$ cuyos subconjuntos abiertos no triviales son $\{\eta\},\{\eta'\},\{\eta,\eta'\}, \{\eta,x,\eta'\}, \{\eta,x',\eta'\}$ . Esto parece ser un "modelo discreto" para el $1$ -esfera $S^1 \subseteq \mathbb{C}$ : Los conjuntos abiertos $\{\eta,x,\eta'\}$ y $\{\eta,x',\eta'\}$ pueden imaginarse como arcos que unen $\eta$ y $\eta'$ a través de $x$ o resp. $x'$ . Son contractibles, y su intersección es el espacio discreto $\{\eta\} \sqcup \{\eta'\}$ . También se deduce que $\pi_1(X) \cong \mathbb{Z}$ . Sin conocer ninguna topología algebraica, se pueden clasificar explícitamente todas las coberturas de $X$ es decir, esta categoría es equivalente a $\mathbb{Z}\mathsf{-Sets}$ .

En contraste con $S^1$ En realidad $X$ es homeomorfo al espectro de un anillo: Sea $R$ sea la localización de $\mathbb{Z}$ en todos los primos $p \neq 2,3$ . Existe un homomorfismo canónico suryectivo $R \to \mathbb{Z}/6$ . Sea $A$ sea el producto de la fibra $R \times_{\mathbb{Z}/6} R$ . Entonces $X \cong |\mathrm{Spec}(A)|$ . Pegamos $\mathrm{Spec}(R) = \{\eta,x,x'\}$ con ella misma a lo largo de su subesquema cerrado $\{x,x'\}$ . Terminamos con dos puntos genéricos $\eta,\eta'$ .

Pregunta. ¿Este espacio $X$ ¿tiene un nombre? ¿Cuál es la relación precisa con $S^1$ ? ¿Dónde aparecen las observaciones anteriores en la literatura?

Según el comentario de Miha más abajo (que es una respuesta), $X$ se llama pseudocírculo y la fuente definitiva del fenómeno general es:

Grupos singulares de homología y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos por Michael C. McCord, Duke Math. J., 33(1966), 465-474, doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7 .

El pseudocírculo ya apareció un par de veces en math.SE, por ejemplo en pregunta/56500 .

Answer 1

Citar la respuesta real recopilada por el autor de la pregunta a partir de los comentarios para eliminar la pregunta del grupo de las no contestadas.

Según el comentario de Miha más abajo (que es una respuesta), $X$ se llama pseudocírculo y la fuente definitiva del fenómeno general es:

Grupos singulares de homología y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos por Michael C. McCord, Duke Math. J., 33(1966), 465-474, doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7 .

El pseudocírculo ya apareció un par de veces en math.SE, por ejemplo en pregunta/56500 .

Answer 2

La relación natural entre $S^1$ y $X$ surge de la siguiente manera. Consideremos $X$ como un conjunto preordenado en su orden de especialización: explícitamente, el orden es $\eta,\eta'\leq x,x'$ (o a la inversa, según sus convenciones). A continuación, podemos tomar el nervio $N(X)$ : explícitamente, $N(X)$ es un conjunto simplicial en el que un $n$ -es un mapa que preserva el orden $[n]\to X$ . Los símiles no degenerados son los mapas inyectivos que preservan el orden, es decir, las cadenas en el poset $X$ . Hay cuatro no degenerados $0$ -simples (el $4$ puntos de $x$ ) y $4$ nondegenerate $1$ -cadenas (el $4$ cadenas en $X$ de tamaño $2$ ), que conectan los puntos de $X$ cíclicamente: $\eta\leq x$ entonces $x\geq \eta'$ entonces $\eta'\leq x'$ entonces $x'\geq \eta'$ .

Esto significa que la realización geométrica $|N(X)|$ es homeomorfo a un círculo (es sólo un gráfico cíclico con 4 vértices). Además, existe un mapa continuo canónico $p:|N(X)|\to X$ que envía un punto que está en el interior de un simplex no degenerado $\sigma$ (es decir, una cadena en $X$ ) a su menor elemento en $X$ . Explícitamente, esto mapea los cuatro vértices de $|N(X)|$ a los puntos correspondientes de $X$ y los interiores de las aristas a $\eta$ o $\eta'$ dependiendo de cuál de los dos tengan como vértice.

Ahora el hecho mágico: este mapa canónico $p:|N(X)|\to X$ es una equivalencia débil de homotopía, por lo que $X$ es equivalente en homotopía débil a $S^1$ . Y aún más mágicamente, esto se generaliza. En particular, McCord demostró los siguientes resultados en su artículo Grupos singulares de homología y grupos de homotopía de espacios topológicos finitos :

Teorema : Dejemos que $P$ sea cualquier conjunto preordenado, considerado como un espacio topológico dejando que los conjuntos abiertos sean los conjuntos cerrados hacia abajo (es decir, la topología más fina con $P$ como su orden de especialización). Entonces el mapa natural $|N(P)|\to P$ construido como arriba es una equivalencia débil de homotopía.

Corolario : Dejemos que $X$ sea un espacio topológico finito cualquiera y dotarlo de su orden de especialización. Entonces el mapa natural $|N(X)|\to X$ es una equivalencia homotópica débil.

Prueba : Una topología sobre un conjunto finito está determinada por su orden de especialización, por lo que la topología sobre $X$ es la misma que la topología inducida por el orden de especialización como en el Teorema.

Corolario : Todo complejo CW finito es equivalente en homotopía débil a un espacio topológico finito.

Prueba : Dejemos que $X$ sea un complejo CW finito. Entonces $X$ es equivalente en homotopía a la realización geométrica de algún complejo simplicial finito $Y$ . Sea $P$ sea el conjunto de caras de $Y$ ordenados por inclusión. Entonces $N(P)$ es sólo la subdivisión baricéntrica de $Y$ y en particular existe un homeomorfismo natural $|N(P)|\to |Y|$ . Por lo tanto, por el Teorema $X$ es equivalente en homotopía débil a $P$ .

Nótese en particular que estos resultados muestran que la relación entre su espacio $X$ y $S^1$ es "unilateral": $S^1$ se asocia naturalmente a $X$ pero $X$ no está asociado naturalmente a $S^1$ . De hecho, hay muchos "modelos finitos" diferentes de $S^1$ por ejemplo, el conjunto de caras en cualquier triangulación de $S^1$ es un "modelo finito" de $S^1$ como en la demostración del segundo Corolario.