$f:\mathbb R\to\mathbb R$ función continua. ¿Cuál de los siguientes conjuntos no puede ser imagen de $(0,1]$ en $f$?

Question

Que $f:\mathbb R\to\mathbb R$ función continua. ¿Cuál de los siguientes conjuntos no puede ser imagen de $(0,1]$ en $f$?

A. $\{0\}$.

B. $(0,1)$.

C.$[0,1)$.

D.$[0,1]$.

Mi esfuerzo: Conjunto de imágenes continua de conectado conectado. $(0,1]$ está conectado y quitar $1$ del conjunto a la izquierda el conjunto conectado... pero eliminando cualquier punto de $(0,1)$ desconectado... No estoy seguro aunque

Answer 1

Si $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ es continua, entonces la imagen de cualquier conjunto compacto es compactada. Sobre todo, la imagen de $[0,1]$ es un compacto conjunto de $C$. Entonces la imagen de $(0,1]$ es o $C$ o $C\setminus\{y\}$ $x=f(0)$. El conjunto de $(0,1)$ no es de esta forma, por lo tanto no puede ser la imagen de $(0,1]$.

Para A, C, D, uno fácilmente encuentra funciones específicas: $f(x)=0$, $f(x)=1-x$, $f(x)=|2x-1|$.

Answer 2

Uno puede encontrar fácilmente las funciones continuas con la imagen como en a,C o D, de modo que si una opción es correcto, debe ser B.

Para probar que B es imposible, se puede argumentar de la siguiente manera. Encontrar, en la preimagen, secuencias de $x_n$$y_n$, de modo que $f(x_n)\to 1$$f(y_n)\to 0$. Ni $1$ ni $0$ está en la imagen, de modo que ni $x_n$ ni $y_n$ contiene una larga convergente en $(0,1]$. Pero en $(0,1]$ la única posibilidad de tener una secuencia que no contienen convergente larga en $(0,1]$ es una sucesión convergente a $0$ ( $\mathbb{R}$ ). Por eso,$x_n\to 0$$y_n\to 0$, por lo tanto $0=\lim f(x_n)=\lim f(y_n)=1$ lo cual es una contradicción.

David Mitra ofrece una simple argumento en los comentarios de arriba.

Sin embargo, $(0,1)$ es una imagen continua de $(0,1]$; por ejemplo, $f(x)=(1-x)(\frac{1}{2}\sin(\frac{1}{x}))+\frac{1}{2}$ mapas de $(0,1]$ continuousy en $(0,1)$. (Pero $f$ no puede ser ampliado continuamente a $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$)