Si $\,A^k=0$ y $AB=BA$ entonces $\,\det(A+B)=\det B$

Question

Supongamos que las matrices $A,\: B\in \mathbb{R}^{n\times n}$ satisfacer $$ A^k=0,\,\, \text{for some $ \ en el matiz de Z^+. $}\quad\text{and}\quad AB=BA. $$

Demostrar que $$\det(A+B)=\det B.$$

Answer 1

He aquí una alternativa a la (ciertamente excelente) respuesta de Andreas:

Desde $A$ y $B$ conmutar, son Simultáneamente triangulable . Sin embargo, como $A$ es nilpotente, para cualquier base en la que $A$ es triangular, las entradas diagonales de $A$ será de hecho $0$ . Así, en la base elegida, las entradas diagonales de $A + B$ y $B$ coinciden, por lo que los determinantes (siendo el producto de las entradas diagonales en esta base) son iguales.

Answer 2

Consideraremos los dos casos siguientes:

Caso I: $\det B=0$ . Entonces, existe un vector $u\ne 0$ , de tal manera que $Bu=0$ y como $AB=BA$ entonces $$ (A+B)^ku=\sum_{i=0}^k\binom{k}{i}A^{k-i}B^ju=A^ku+\sum_{i=1}^k\binom{k}{i}A^{k-i}B^iu=0, $$ y por lo tanto $A+B$ no es invertible y por tanto $\det(A+B)=\det B=0$ .

Caso II: $\det B\ne 0$ . Entonces basta con demostrar que $\det (I+B^{-1}A)=\det I$ . Tenga en cuenta que $A$ se desplaza con $B^{-1}$ también y $(B^{-1}A)^k=(B^{-1})^kA^k=0$ . Por lo tanto, basta con demostrar que si $C^k=0$ entonces $\det (I+C)=\det I$ . Dejemos que $F=I+C$ . Sabemos que $$(F-I)^k=C^k=0.$$ Esto significa que TODOS los valores propios de $F$ son iguales a $1$ , como $F$ es aniquilado por el polinomio $p(x)=(x-1)^k$ y por lo tanto su determinante (producto de sus valores propios) es igual a $1$ es decir, $$\det (I+C)=\det F=1.$$

Answer 3

Dejemos que $U$ sea el eigespacio generalizado de $B$ con respecto a un valor propio particular $\lambda$ . Desde $A B = B A$ tenemos $A U \subseteq U$ . (Si $v \in U$ para que $(B - \lambda I)^{s} v = 0$ para algunos $s$ y el vector $v$ entonces $(B - \lambda I)^{s} A v = A (B - \lambda I)^{s} v = 0$ Es decir, $A v \in U$ .)

A partir de ahora $U$ tendremos $B = \lambda I + N$ , donde $N$ es nilpotente, y $I$ es la identidad en $U$ . Desde $A B = BA$ obtenemos $A N = N A$ Así que $N+A$ es nilpotente. (Si $A^{t} = N^{t} = 0$ entonces $(A+N)^{2t-1} = 0$ .)

A partir de ahora $U$ tenemos $A + B = \lambda I + (A + N)$ . Así que vemos que $U$ es también el eigespacio generalizado de $A + B$ con respecto al valor propio $\lambda$ . (Esto se debe a que $(A + B - \lambda I)^{2t-1} = (A + N)^{2t-1} = 0$ para el mismo $t$ como en el caso anterior. Además, en realidad estamos mostrando que el $\lambda$ -espacio eigénico generalizado de $B$ está contenida en el $\lambda$ -espacio eigénico generalizado de $A+B$ pero la situación es simétrica, ya que $B = (A+B) - A$ con $A (A+B) = (A+B) A$ .)

Así que $B$ y $A + B$ tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades, por lo que tienen el mismo determinante.

Esto demuestra que tienen el mismo polinomio característico. Pero no es necesario que tengan el mismo polinomio mínimo, ya que el ejemplo $A = \begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ espectáculos.