En la definición de un functor, ¿por qué es necesario que $F(id_{A})=id_{F(A)}$?

Question

Un functor $F$ se define como una asignación de la categoría de $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$tal forma que:

(1) $F(f\circ_{\mathcal{C}} g)=F(f)\circ_{\mathcal{D}} F(g)$ (decir, para un functor covariante).

(2) $F(id_{A})=id_{F(A)}$

Pregunta: ¿por qué (2) necesario?

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Aquí es un intento de mostrar que (1) implica (2), yo agradecería que se le dijo que falla:

Tomar cualquier $f\in hom_{\mathcal{C}}(A,B)$, $g\in hom_{\mathcal{C}}(B,A)$ Entonces $$ F(f)\circ F(id_{A}) \stackrel{(1)}{=} F(f\circ id_A) = F(f) $$ and $$ F(id_A) \circ F(g) \stackrel{(1)}{=} F(id_A \circ g) = F(g) $$

De modo que $F(id_A)$ satisface los axiomas de una identidad (suponiendo que $F$ es surjective, aunque no estoy seguro de lo que significa para functors), y dado que las identidades son únicos (un fácil lema), a continuación,$id_{F(A)}=F(id_A)$.

Los dos problemas, como se señaló, son:

(a) $F$ podría no ser surjective.

(b) $hom_{\mathcal{C}}(A,B)$ o $hom_{\mathcal{C}}(B,A)$ puede estar vacía.

¿Alguien puede explicar más acerca de esto? Mostrar un no-estúpido ejemplo, cuando algo no podría ser un functor porque de esto?

Answer 1

Considere el siguiente contraejemplo.

Deje $\mathcal{C}$ ser la categoría con un objeto $C$ y uno de morfismos $\mathrm{id}_C$. Deje $\mathcal{D}$ ser la categoría con un objeto $D$ y dos morfismos $\mathrm{id}_D : D \to D$$f : D \to D$, donde la composición está definida por $f \circ f = f$.

Definir $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ por $$F(C)=D \qquad \text{and} \qquad F(\mathrm{id}_C)=f$$ A continuación, $F$ cumple con todos los requisitos de ser un functor, salvo el requisito de que $F(\mathrm{id}_C)=\mathrm{id}_{D}$, ya que el $F(\mathrm{id}_C)=f\ne\mathrm{id}_D$.

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Agregado: Como por su pregunta en los comentarios, aquí un ejemplo en el $F$ es surjective en morfismos: tome $\mathcal{C}$ a ser una categoría con dos objetos de $C_1$ $C_2$ y sólo la identidad de morfismos, tome $\mathcal{D}$ como antes, definir $F(C_1)=F(C_2)=D$, $F(\mathrm{id}_{C_1})=f$ y $F(\mathrm{id}_{C_2})=\mathrm{id}_D$.

Answer 2

Si $M$ es una categoría con un objeto $O$, $(\mathrm{Hom}(O, O), ∘)$ es un monoid, y conversly, cada monoid $M$ puede ser hecho en una categoría de objeto de los morfismos de los cuales son los elementos de que monoid, y la composición es monoid producto. Además, monoid morfismos corresponden a functors entre el objeto de categorías construido de esta manera. Esto es a menudo un simple y útil ejemplo a tener en cuenta

Ahora tomar cualquier semigroup de morfismos de dos monoids que no es un monoid de morfismos (es decir. satisface $f(ab) = f(a)f(b)$, pero no $f(e) = e$), y tendrás tu contraejemplo. En particular, usted puede tomar un subsemigroup que no es un submonoid, por ejemplo. la inclusión de números en $(ℕ, +)$.

Answer 3

Si $f:\cal C\to D$ es completo, entonces (1) implica (2):
Que $x$ ser objeto de $\cal C$% y dejó $y=f(x)$. $e$ Es una de las flechas en $x$ tal que $f(e)=1_y$. Entonces tenemos $$ f(1_x) = f (1_x) 1_y = f(1_x)f(e) = f(1_xe) = f(e) = 1_y $$, si $\cal D$ es un groupoid, (1) implica (2) desde $$ f(1_x) = f (1_x) 1_y = f (1_x) f (1_x) f (1_x) ^ {-1} f(1_x 1_x) f (1_x) ^ {-1} = f f (1_x) (1_x) ^ {-1} = 1_y $$