¿Un gráfico de Cayley sobre un conjunto simétrico mínimo de generadores determinar un grupo finito hasta isomorfismo?

Question

Sospecho que la respuesta a mi pregunta es bien sabido a ser que no. Para ser más precisos, vamos a $G$ $H$ ser nonisomorphic grupos finitos de la misma orden. Deje $S \subseteq G$ $T \subseteq H$ ser subconjuntos de la satisfacción de las tres propiedades: (1) los subconjuntos son simétricas, que es$S = S^{-1}$$T = T^{-1}$; (2) son mínimos simétrica electrógenos; (3) el tamaño de $S$ es igual al tamaño de $T$. Es posible que el grafo de Cayley de los par $(G,S)$ y el grafo de Cayley de los par $(H,T)$ a ser isomorfo?

Si la respuesta es sí, ¿cuál es el más pequeño ejemplo?

Answer 1

El cubo truncado (poliedro con ocho caras triangulares y seis octogonal se enfrenta a) es un grafo de Cayley de tanto el grupo simétrico de cuatro elementos (generadores: transponer dos primeros de los cuatro elementos, rotar los tres últimos) y de un grupo diferente que actúa sobre los 3 bits cadenas binarias (generadores: rota la cadena, de la vuelta de su primer bit). Se puede decir que son diferentes de Cayley gráficos debido a que la gráfica isomorfismo no preservar la Cayley etiquetado: en uno de los dos grafos de Cayley, los generadores de etiquetado de los triángulos son invertidos en la mitad de los triángulos en comparación con el etiquetado de los otros gráfico. Ver esta entrada del blog.

Answer 2

Deje $G = Z_4$ ser cíclica de grupo en 4 elementos, generados por $S = \{-1,1 \}$, vamos a $H = Z_2 \times Z_2$ ser el Klein cuatro grupo, generados por $T = \{(0,1),(1,0)\}$. A continuación, $|S| = |T|$ y tanto Cayley grafos son isomorfos a $C_4$, el ciclo de longitud 4.

Para $n > 2$ cada ciclo de $C_{2n}$ es un grafo de Cayley para el grupo cíclico $Z_{2n}$ y para el grupo diedro $D_n$ orden $2n$.

Otro ejemplo bien conocido es el gráfico de un cubo de $Q_3$ que es un grafo de Cayley para el grupo abelian $Z_4 \times Z_2$ y para el grupo diedro $D_4$. En el ejemplo anterior el diedro grupo fue generado por dos involuciones, mientras que en el segundo caso es generado por una involución y un elemento de orden 4.

Si sólo los generadores son de contado, sin sus inversos, los dos primeros ejemplos no dar la coincidencia de cuenta.