Generación compacta de representaciones modulares

Question

¿Son las categorías derivadas de las representaciones modulares de los grupos algebraicos generadas de forma compacta? (por ejemplo, considere SL_2 en la característica 2). Obsérvese que las representaciones modulares de grupos finitos se generan de forma compacta (por la representación regular) - es un ejemplo de generación compacta de módulos para un álgebra. Pero aquí estamos preguntando por los comodules para una álgebra que no es dualizable, así que no está inmediatamente claro (para mí).

Esto hace más específica mi otra pregunta sobre cualquier ejemplo "bonito" de categorías no generadas de forma compacta.

Answer 1

Parece que esta cuestión se resuelve de forma definitiva en el preimpreso de hoy Grupos algebraicos y generación compacta de sus categorías derivadas de representaciones por Hall y Rydh. Su primer teorema afirma que la categoría derivada cuasicoherente de la pila $BG$ para $G$ un esquema de grupo de tipo finito sobre un campo $k$ está generada de forma compacta si y sólo si la característica de $k$ es cero, o el grupo componente de la parte reductora de $G$ (después de cambio de base a $\overline{k}$ ) es SEMI-ABELIANA - o equivalentemente, no contiene grupos aditivos. En particular, los grupos semisimples en (cualquier) característica positiva están fuera. Luego deducen (utilizando otro artículo suyo de hoy, con Neeman) que incluso para $G$ afín en estos casos pobres'' la categoría derivada cuasicoherente difiere de la categoría derivada de representaciones (es decir, láminas cuasicoherentes sobre $BG$ ), y otros resultados sorprendentes.

Answer 2

Esta es una buena pregunta cuya respuesta, lamentablemente, desconozco, así que permítanme responder a tres preguntas diferentes.

1. La categoría derivada de los códulos sobre cualquier álgebra (sobre un campo) está bien generada en el sentido de Neeman y Krause. Lo mismo ocurre con la categoría derivada de los códulos DG sobre una álgebra DG. Se puede demostrar esto utilizando los resultados del artículo de Krause sobre la teoría de la localización para categorías trianguladas junto con la siguiente afirmación #2. Las categorías trianguladas bien generadas son técnicamente más complicadas que las generadas de forma compacta, pero para algunas aplicaciones son igual de buenas. La representabilidad contravariante (= más habitual) de Brown se mantiene en las categorías trianguladas bien generadas, mientras que la versión covariante puede no hacerlo.

2. Tengo la filosofía de que no se deben considerar las categorías derivadas de los comodules. Las categorías derivadas son buenas para los módulos o los módulos DG, quizás a veces para las láminas, pero no para los códulos. Para los códulos, se supone que hay que considerar la categoría codificada. Ésta es la categoría cociente de la categoría de complejos de códulos por una relación de equivalencia más delicada que el cuasi-isomorfismo convencional. La definición más sencilla, aunque no siempre la mejor, es que la categoría codificada de los códulos es la categoría homotópica de los complejos arbitrarios de códulos inyectivos. La cuestión es que la categoría codificada de los códulos (códulos DG, códulos CDG) siempre está generada de forma compacta, siendo los generadores compactos los complejos totalmente finitos. La subcategoría de objetos generados de forma compacta es simplemente la categoría derivada acotada de los códulos de dimensión finita (esto es cierto para los códulos, no para los códulos DG).

3. Cuando la categoría de códulos sobre una álgebra C tiene una dimensión homológica finita, sus categorías derivadas y codificadas coinciden. Por tanto, la categoría derivada de los códulos sobre una álgebra de dimensión homológica finita está generada de forma compacta. De ello se deduce que la categoría derivada de representaciones de un grupo algebraico (de dimensión finita) en característica 0 es siempre de generación compacta, pero esto no se aplica a las representaciones modulares en general.

Estoy interesado en cualquier ejemplo que pueda argumentar a favor o en contra de mi filosofía tal y como se expone en el nº 2, así que si alguien conoce una situación en la que la categoría derivada no acotada de los códulos, a diferencia de la categoría homotópica de complejos de códulos inyectivos, resulte buena o mala para cualquier propósito, por favor que me lo haga saber.

Answer 3

Quizás quieras probar con módulos basculantes. Esos al menos proporcionan un conjunto generador con autoextensiones triviales.

Si no recuerdo mal, cada inclinación es ortogonal a la izquierda y a la derecha de todos los simples, excepto de los finitos, y viceversa, y cada módulo de dimensión finita tiene una resolución de inclinación de longitud finita.

Es decir, la categoría derivada de las representaciones modulares de dimensión finita es equivalente a los complejos perfectos acotados y de rango finito sobre el anillo de endomorfismo de los basculantes.