¿Por qué no es válido decir $\frac{dy}{dx}\frac{dy}{dx}=y\frac{d^2y}{(dx)^2 }$? ¿Notación de Leibniz (y pensando como un cociente infinitesimal) no funciona para los derivados de orden superior?
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Joshka
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Su intuición es correcta, que el OPERADOR de la derivada puede ser multiplicados juntos en una manera de decir $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx} = \frac{d^2}{dx^2}$. Sin embargo, la expresión de $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(y)$ es un evaluados derivada de la función $y$ escribimos el $y$ en el numerador con $d$ como una conveniencia notacional. Al evaluar un derivado, ya no se comporta como el operador de la derivada de y ahora es simplemente una función. Otra manera de mirar es si consideras $\frac{d}{dx}$ como una "función", entonces el producto de a $\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}$ es simplemente la composición de dos derivados de las funciones, por el contrario $\frac{dy}{dx} \frac{dy}{dx}$ es el producto de dos evaluado funciones. Por lo que podemos reestructurar tu pregunta de la siguiente manera : no $f(x)*f(x) = f(f(x))$ ? la respuesta es obviamente no. Sin embargo, $(f\circ f)(x) = f(f(x))$ es verdadero por la definición de la composición de funciones.
Considere la posibilidad de $y=3x$$\frac{dy}{dx} =3$. De modo que el lado izquierdo de la ecuación sería de 9. Sin embargo, $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} =0$, por lo que el lado derecho de la ecuación sería 0 en este ejemplo, pero $0\neq 9$. Por lo tanto, la función de $y=3x$ proporciona un contraejemplo.
Notación de Leibniz hace el trabajo para más de derivados, la n-ésima derivada de y se denota por a $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$. Sin embargo, el tratamiento de la derivada como un cociente se llama abuso de notación y se considera más como una herramienta práctica para ayudar a los estudiantes a recordar ciertas normas como la regla de la cadena. En realidad hay una forma de tratamiento de infinitesimals rigurosamente es tratado en lo que se conoce como no-estándar de análisis, pero este no es realmente el enfoque más común.
Kristopher Johnson
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Desde $$f''(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+2h)-2f(a+h)+f(a)}{h^2}$ $ bajo condiciones convenientes, supongo que se pudo conceptualizar el $d^2 f$ $d^2 f/dx^2$ como una diferencia infinitesimal de "segundo orden": es decir, como $f(x+2dx)-2f(x+dx)+f(x)$. ¡, No he nunca me ha gustado pensar en términos de "infinitesimales" :-)
korkman
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El $d$ palos a su argumento. No es una multiplicación. Igual que la función trigonométrica $\mathrm{sin}\, x$ no es una multiplicación.
Por lo $dx \cdot dx = (dx)^2$. No se puede separar el $x$ e las $d$. Así que es una tontería escribir como $xd^2x$. Las normas aplicables son definidos por el diferencial álgebra.
Así, en el ejemplo de $\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dy}{dx} = \frac{(dy)^2}{(dx)^2} = \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$.
Usted puede tratar la notación de Leibniz como un cociente mientras hay una restricción que asegura que todos los diferenciado de las variables en su expresión cambia si cambia cualquiera de ellos (derivadas parciales son un asunto diferente).
El $d$ puede obtener un superior índice si es anidada como: $d(d(dx)) = d^3x$.
