Dado el suficiente tiempo, ¿cuáles son las posibilidades que puedo salir adelante en un concurso de lanzamiento de la moneda?

Question

Suponiendo que yo puede jugar para siempre, ¿cuáles son mis posibilidades de salir adelante en una moneda tirón de la serie?

Digamos que yo quiero "jefes"...entonces, si le doy la vuelta una vez, y conseguir los jefes, a continuación, voy a ganar, porque he llegado a un punto en el que tiene más cabezas de las colas (1-0). Si era colas, puedo voltear de nuevo. Si tengo suerte, y tengo dos cabezas en una fila después de esto, esta es otra manera para mí para ganar (2-1).

Obviamente, si puedo jugar siempre, mis posibilidades son probablemente bastante decente. Son por lo menos 50% mayor que, desde que me puede conseguir que a partir de la primera vuelta. Después de eso, sin embargo, empieza a ser pegajosa.

He dibujado un gráfico del árbol para tratar de llegar al punto donde podía empezar a ver la fórmula esperemos que abandonar los estudios, pero hasta el momento es eludir mí.

Sus posibilidades de salir adelante después del 1 de flip son del 50%. Bien. Suponiendo que usted no gana, usted tiene que voltear al menos dos veces más. Este paso que da la probabilidad de 1 de cada 4. El siguiente nivel sería después de 5 lanzamientos, donde se tiene un adicional de 2 posibilidades de 12, seguido por 7 volteretas, dándole 4 de los 40.

Sospecho que puede ser capaz de trabajar a través de este se les da un tiempo, pero me gustaría ver lo que otras personas piensen...¿hay una manera fácil acerca de esto? Es este un problema conocido?

Answer 1

100%, por la misma razón que la 1-D a pie

En realidad (otra vez por la misma razón), sus posibilidades son 100% de llegar X mayor cabezas de cola (o colas de cabezas), donde X es cualquier número entero no negativo.

Answer 2

La pregunta puede ser contestada mediante catalán números. Vamos a C_n indicar el número de secuencias de 2n lanzar una moneda en la que nunca por delante. Formalmente, podemos contar con secuencias en las que cada prefijo tiene no menos T's de H's. Llamamos a esta propiedad.

El número total de secuencias de longitud 2n es $2^{2n}$. A continuación, muestran que a medida que n→∞, la relación $C_n / 2^{2n}$ tiende a 0. Esto significa que en casi toda la secuencia es muy probable que estar por delante (la probabilidad de una secuencia aleatoria de tener la propiedad tienden a 0 como la secuencia se hace más largo).

De hecho,

$C_n = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

así

$C_n / 2^{2n} = \frac{(2n)!}{2^{2n}} \cdot \frac{1}{(n+1)!n!}$

y se puede demostrar que esto tiende a 0 por la aproximación de Stirling (multiplicar y dividir por $(2n/e)^{2n}$).