¿Podrían Euclides han atravesada un segmento de línea sin su método de superposición?

Question

En el Libro I de la Proposición 10 de los Elementos, de Euclides realiza la interseccion (es decir, encontrar un punto medio) de un segmento de línea. En el curso de hacerlo, él utiliza el Libro I de la Proposición 4, el Lado-Ángulo-Lado Teorema, que demostró con su polémico método de la superposición. Mi pregunta es, podría Euclides han demostrado el Libro I de la Proposición 10, sin depender de el Libro I de la Proposición 4, de manera que el resultado no dependen del método de superposición?

La razón que pido es que creo que he encontrado una simple prueba de Euclides del Libro I de la Proposición 2 (que implican la transferencia de las distancias), pero depende de la interseccion, así que tengo la esperanza de que no estoy implícitamente mediante el método de superposición.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de Antemano.

Answer 1

El paso inevitable en la prueba de ello es el principio de que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales.

En la geometría Euclidiana prueba de ello es el uso de la congruencia axioma de que quieres evitar, pero en realidad se trata de un principio más débil desde el subsistema de la geometría afín que no incluyen los conceptos de ángulo o de rotación. En efecto es el axioma Euclidiano restringido a superposiciones que son traducciones paralelas. (Tal vez de 180 grados rotaciones puede ser implícitamente necesario para algunos argumentos, pero son evitables por el punto medio de prueba mediante el uso de una cadena de varios paralelogramos, y que podrían ser evitables en general).

Los dos subsegments a cada lado del punto medio son diferentes de los objetos geométricos, y sin que la comparación principio no hay relación entre ellos puede ser demostrado. No sería un segmento dividido en dos partes pero no otros datos que se pueden derivar. El mínimo suficiente principio es el de los paralelogramos.