Es de una cubierta de un múltiple Orientable Orientable

Question

La siguiente pregunta viene de Introducción a la Suave Colectores por Lee:

Supongamos $\widetilde{M}$ suavemente cubre $M$ donde $M$ es orientable. Mostrar que $\widetilde{M}$ es orientable.

Creo que la siguiente prueba de que funciona:

Orientability es equivalente a la existencia de un lugar de fuga continua de forma superior en $M$, así que vamos a $\Omega$ ser de cualquier forma en $M$. A continuación, el pullback $\pi^*\Omega$ es una forma superior de la en $\widetilde{M}$ que no se desvanecen ($\pi$ aquí denota el buen cubriendo el mapa). Por si no lo hizo que implicaría que $\Omega$ desapareció en algún lugar.

Esta prueba me preocupa ya que yo estoy en ninguna parte con el hecho de que $\widetilde{M}$ es cubrir el espacio de los otros, que saber que $\pi^*\Omega$ es una forma superior de la en $\widetilde{M}$ desde $\pi$ es un local diffeomorphism. He probado demasiado aquí?

Answer 1

Lo que dices es perfectamente correcta.
De hecho, si $\pi:\tilde M\to M$ es un local diffeomorphism entre el $n$-dimensiones diferencial colectores e $M$ es orientado por la nada cero de la forma superior de la $\omega\in \Omega^n(M)$, luego de obtener una orientación en $\tilde M$ por elevación $\omega$ a ninguna parte a la cero de la forma superior de la $\pi^*\omega\in \Omega^n(\tilde M)$ .
En otras palabras, el más fuerte suposición de que $\pi$ una cubierta mapa es irrelevante.

Comentario 1
El recíproco es falso: en el universal que cubre $\pi:S^2\to \mathbb P^2(\mathbb R)$ de la proyectiva del plano de la 2-esfera, la esfera es orientable, pero el plano proyectivo no es.
En realidad, cualquier colector admite una orientable cubriendo mapa: su cobertura universal, pero esto no dice nada acerca de la orientability del colector.

Comentario 2
El mismo resultado se da de manera más general para locales homeomorphisms entre topológica de los colectores. La anterior prueba, obviamente, no funciona ya que no se puede hablar de formas diferenciales en topológico colectores: incluso la definición de la orientability debe ser cambiado.
La clave para la solución de estos problemas es la Topología Algebraica concepto de relación de homología: véase, por ejemplo, Greenberg-Harper's Topología Algebraica, Capítulo 22, página 157.