Esta es una cuestión muy interesante que normalmente se plantea en el contexto de las oscilaciones y las ondas.
Consideremos, por ejemplo, la EDO $$m\cdot\dfrac{d^2}{dt^2}x + 2\gamma\dfrac{d}{dt}x+D\cdot x = f\left(t\right)$$ Este es el llamado oscilograma armónico donde $m$ denota la masa, $\gamma$ denota el coeficiente de fricción (traducido del alemán "Reibungskoeffizient"), $D$ denota la constante del muelle con el que se está tratando y $f$ es alguna fuerza externa.
Consideremos ahora el caso en el que $f = 0, \gamma = 0$ . Entonces, la ecuación se reduce a: $$\dfrac{d^2}{dt^2}x + \Omega ^{2}\cdot x = 0, \Omega^2 = D/m$$
La solución viene dada entonces por: $$x = C\cdot\exp(i\cdot\Omega\cdot t)+C^{\star}\exp(-i\cdot\Omega\cdot t)$$ donde la estrella en el exponente denota la conjugación compleja. Eligiendo ahora las condiciones iniciales para el movimiento adecuadamente, se puede determinar $C$ y, por tanto, su conjugado complejo.
Ahora bien, si se aumenta la amplitud, esto significa una condición inicial diferente, es decir, el péndulo se aleja un poco más de su estado de inercia. Si se aumenta la frecuencia, entonces sabemos, que o bien la masa $m$ se ha disminuido o que se ha aumentado la constante del muelle (por ejemplo, eligiendo un muelle diferente).
-- Observación: La frecuencia viene dada por la fórmula: $\Omega = \sqrt{D/m}$ con el mismo significado de las constantes.
Ahora bien, se sabe que la frecuencia, o para ser más precisos, la frecuencia angular, está relacionada con el tiempo del período de la siguiente manera:
$$T = 2\pi/\Omega$$
Por lo tanto, su imagen intuitiva era completamente correcta. A medida que la frecuencia se acelera, el tiempo del período disminuye, por lo que la oscilación también se acelera.
Hablo de oscilaciones en lugar de movimientos circulares porque es posible, mediante la introducción de coordenadas polares, considerar estos últimos también como oscilaciones.
Esto se puede comprobar fácilmente si se tiene en cuenta la ley gravitacional de Newton y se aplica, por ejemplo, al movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Aproximadamente (de hecho, alguna aproximación porque $\epsilon_{\text{Earth}} \neq 0$ ), podemos considerarlo como un movimiento en un círculo, considerando la tierra y el sol como puntos de masa. Ahora, el punto crucial es que, estableciendo un sistema de coordenadas, podemos medir ángulos. Considerando, por ejemplo, la proyección del radio vector de la tierra sobre una de nuestras líneas de coordenadas, digamos el "eje x", obtenemos un término como $r_x = r_{\text{middle}} \cdot \cos(\omega_{\text{earth around sun}}\cdot t)$ donde se ha hecho uso de $\omega = \phi t$ y $\phi$ denota el ángulo en el sistema de coordenadas transformado a coordenadas polares.
Algunas cosas interesantes:
-
Siempre que se trate de un mínimo potencial en física, se pueden aproximar localmente las ecuaciones de movimiento subyacentes (en la dinámica newtoniana) mediante algún oscilador armónico.
-
La constante gravitacional $G$ puede medirse, por ejemplo, con un péndulo de torsión.
