Si $\{u_1,...,u_n,v_1,...,v_k\}$ es una base, ¿se deduce necesariamente que $\{u_1,...,u_n\}$ es linealmente independiente?

Question

Se nos da que $\{u_1,...,u_n,v_1,...,v_k\}$ es una base. Mi pregunta es si se deduce necesariamente que $\{u_1,...,u_n\}$ ou $\{v_1,...,v_k\}$ son linealmente independientes? Sospecho que la respuesta es sí, pero creo que me falta algo en mi argumento.

Entonces: si $\{u_1,...,u_n,v_1,...,v_k\}$ es una base, entonces esta lista de vectores es linealmente independiente. Es decir,

$a_1 u_1 + \cdots + a_n u_n + b_1 v_1 + \cdots + b_k v_k = 0 \implies a_1 = \cdots = a_n = b_1 = \cdots = b_k = 0$ .

Entonces quiero decir lo siguiente: Dado que todos los $b_i \,'s$ son $0$ tenemos $a_1 u_1 + \cdots + a_n u_n = 0 \implies a_1 = \cdots = a_n = 0$ lo que significa que { $u_1,...,u_n$ } es linealmente independiente. Con un argumento similar, también podemos concluir que { $v_1,...,v_k$ } es linealmente independiente.

¿Me estoy perdiendo algo? Creo que mi argumento es un poco forzado. ¡¡Gracias por su ayuda!!

Answer 1

Tu argumento está bien, pero quizás este sea un caso en el que se pueda plantear como una prueba por contradicción. Supongamos que alguna sublista no fuera linealmente independiente, entonces podemos encontrar alguna $\{a_i\}$ , no todas cero, tales que $\sum_{i=1}^n a_iu_i=0$ . Podemos usar esto para demostrar que la lista mayor no es linealmente independiente.