Una pregunta estúpida en Stokes ' Teorema

Question

Supongamos que yo quiero hacer el simple integral $I=\int_{ R^2} \frac{\mathrm{d}r\wedge\mathrm{d}\phi}{(1+r)^2}$. Sólo la evaluación de la integral de uno rápidamente se pone en $\left. -2\pi\frac{1}{1+r} \right |^\infty_0=2\pi$.

Sin embargo, desde la $\frac{\mathrm{d}r\wedge\mathrm{d}\phi}{(1+r)^2} =\mathrm{d} \left(- \frac{\mathrm{d}\phi}{(1+r)} \right)$ yo también podría utilizar Stokes teorema. La forma de yo soy la integración no es compacta compatible, pero me pueden integrar más de un 2-bola de radio $R$ y, a continuación, tomar el límite de $R \rightarrow \infty$: $I=\lim_{R \rightarrow \infty} \int_{B^2_R} \mathrm{d} \left(- \frac{\mathrm{d}\phi}{(1+r)} \right)= -\lim_{R \rightarrow \infty} \int_{S^1_R} \frac{\mathrm{d}\phi}{(1+r)} =-\lim_{R \rightarrow \infty} 2\pi \frac{1}{(1+R)}=0$, que es claramente erróneo.

Entonces, ¿dónde está el error? La función de $1/(1+r)$ es regular todo el camino de$0$$\infty$. Creo que el problema es el hecho de que $\mathrm{d}\phi$ no está bien definido en$r=0$, ¿es eso cierto? Sería correcto entonces a integrar sobre el dominio $\{(x,y)\in R^2\;|\; \epsilon\leq x^2+y^2\leq R \}$, y luego tomar tanto el límite de $R\rightarrow \infty$$\epsilon\rightarrow 0$?

Answer 1

Sí, tienes razón, el problema es que el $d\phi$ no está bien-se comportó en el origen. Si se calcula en coordenadas Cartesianas, podemos encontrar

$$d\phi = \frac{-ydx + xdy}{x^2+y^2},$$

así que la "magnitud" de $d\phi$ es proporcional al $r^{-1}$, así no se puede aplicar a Stokes haciendo caso omiso de esa singularidad.

Si se considera la región $\varepsilon < \sqrt{x^2+y^2} < R$, la integral sobre el límite interno converge al valor $2\pi$ que es el valor de la integral de la zona.