En ¿Qué son las matemáticas? por Courant, Robbins y Stewart 5. Una importante desigualdad", los autores cambian $n$ en este ejemplo:
$$(1+p)^n\geq1+np$$
a $r$ en este ejemplo:
$$(1+p)^r\geq1+rp$$
En otros ejemplos que da el autor del libro, también cambia la variable. También recuerdo haber visto algo similar en algún otro libro. ¿Por qué se hace eso?
El estilo de Courant & Robbins en ese libro era reservar la letra $n$ en un argumento inductivo para el caso general, así:
Queremos demostrar que alguna afirmación $P(n)$ es cierto para todos los números naturales $n$ .
Primero demostramos que es cierto para $P(0)$ .
Ahora suponemos que es cierto para algún número natural $r$ y demostraremos que también debe ser cierto para $r+1$ . Es decir, mostraremos $P(r)\implies P(r+1)$ .
Aquí los autores intentan explicitar la idea de que $n$ representa cualquier número natural, y en su paso de inducción están eligiendo un particular número natural $r$ . Esta es simplemente la forma en que se introduce la inducción en el libro en la parte superior de la página 11.
La idea esencial de los argumentos anteriores es establecer un teorema general $A$ para todos los valores de $n$ demostrando sucesivamente una secuencia de casos especiales, $A_1, A_2, \dots$ . La posibilidad de hacerlo depende de dos cosas: a) Existe un método general para demostrar que si cualquier declaración $A_r$ es verdadera, entonces la siguiente declaración, $A_{r+1}$ , lo hará también sea verdadera. b) La primera afirmación $A_1$ es conocido que sea cierto.
Una vez que te sientas cómodo con esta idea, muchas personas simplemente utilizan $n$ en el segundo paso también, recordando que en ese segundo paso $n$ representa un número natural concreto.
Los autores lo demuestran por inducción. Pasan de $n$ a $r$ para ayudar a los lectores que se confundirían si asumieran algo por $n$ cuando están tratando de probarlo en primer lugar. Así que asumen el resultado para $r$ y mostrar cómo extenderlo a $r+1$ , demostrándolo así para todos $n$ . No es gran cosa.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
