Cómo derivar una identidad entre sumas de funciones totientes y de Möbius

Question

Tengo las siguientes identidades

• $$\sum_{n \le x} \varphi(n) = \frac{1}{2} \sum_{n \le x} \mu(n) \left[\frac{x}{n}\right]^2 + \frac{1}{2}$$
• $$\sum_{n \le x} \frac{\varphi(n)}{n} = \sum_{n \le x} \frac{\mu(n)}{n} \left[\frac{x}{n}\right]$$

cómo puedo descubrir uno similar para $$\sum_{n \le x} \frac{\varphi(n)}{n^2}?$$

---

La razón para cambiarlos de $\varphi$ a $\mu$ es que son más fáciles de analizar asintóticamente. Probar ambos requiere la identidad $\varphi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d}$ como el primer paso, así que supongo que es el primer paso para esto también, pero cuando trato de que me sale $\sum_{n \le x} \sum_{d|n} \frac{\mu(d)}{nd}$ que no parece una convolución ni nada sencillo como eso.

Answer 1

Estás en el camino correcto, es muy similar al anterior. Como ha señalado, tenemos $$\sum_{n\leq x}\frac{\phi(n)}{n^{2}}=\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}.$$ Cambiando el orden de la suma se obtiene $$\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d}\sum_{r\leq\frac{x}{d}}\frac{1}{rd}=\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d^{2}}\sum_{r\leq \frac{x}{d}}\frac{1}{r}=\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d^{2}}H_{\left[\frac{x}{d}\right]}.$$

Donde $H_m$ es el $m^{th}$ número armónico. Ahora es posible evaluar esto ya que $$\sum_{n\leq x}\frac{1}{n}=\log x +\gamma+O\left(\frac{1}{x}\right).$$ Entonces obtenemos $$\sum_{d\leq x}\frac{\phi(d)}{d^2}=\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d^{2}}\left(\log\frac{x}{d}+\gamma+O\left(\frac{d}{x}\right)\right).$$

Podemos reescribir esta suma como

$$\log x\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d^{2}}-\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)\log d}{d^{2}}+\gamma\sum_{d\leq x}\frac{\mu(d)}{d^{2}}+O\left(\frac{1}{x}\sum_{d\leq x}\frac{|\mu(d)|}{d}\right)$$

Desde $\sum_{d> x}\frac{\mu(d)\log d}{d^2}=O(\log x/x)$ y $\sum_{d\leq x}\frac{\mu (d)}{d}=O(\log x)$ vemos que

$$\sum_{n\leq x}\frac{\phi(n)}{n^2}=\log x \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^2}+\gamma \sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^2}-\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)\log d}{d^2}+O\left(\frac{\log x}{x}\right).$$

Mirando estas series, $\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)}{d^2}=\frac{1}{\zeta(2)}$ y $\sum_{d=1}^\infty \frac{\mu(d)\log d}{d^2}=\frac{\zeta^{'}(2)}{\zeta(2)^2}$ y así

$$\sum_{n\leq x}\frac{\phi(n)}{n^2}=\frac{\log x}{\zeta(2)}+\frac{\gamma}{\zeta(2)} -\frac{\zeta^{'}(2)}{\zeta(2)^2}+O\left(\frac{\log x}{x}\right).$$

Espero que eso ayude,

Editar: Corregido el error con el término constante. Originalmente se me pasó el $-\log d$ plazo.

Editar 2: Cambiado el límite $\sum_{d> x}\frac{\mu(d)\log d}{d^2}=O(1/x)$ a $\sum_{d> x}\frac{\mu(d)\log d}{d^2}=O(\log x/x).$ Aunque la anterior también es cierta, requiere el teorema de los números primos. Para este resultado el $\log x$ no cambia nada, y hay una prueba mucho más sencilla. Vea esta respuesta.