Deje $X$ ser un esquema integral y deje $Y$ ser un no-vacío abierto subscheme de $X$. $X$ es irreductible, por lo $Y$ es denso en $X$. Yo reclamo la inducida por homomorphism $i^\flat : \mathscr{O}_X \to i_* \mathscr{O}_Y$ es monic, pero no necesariamente épica. De hecho, el reclamo es local en $X$$Y$, por lo que podemos tomar $X$ ser afín y $Y$ a ser un distinguido abrir subscheme de $X$. Pero entonces todo lo que tenemos es una localización de un integrante del dominio, y esto siempre es inyectiva pero no necesariamente surjective.
El punto es que no hay una noción de subscheme que da lugar a abierto y cerrado subschemes; más bien, hay dos.
Abierto subschemes son un caso especial de la construcción siguiente: si $X$ es un local rodeado de espacio y $Y$ es cualquier subconjunto de a $X$, podemos hacer $Y$ en un local rodeado de espacio tirando $\mathscr{O}_X$ a lo largo de la inclusión $i : Y \hookrightarrow X$. Por desgracia, no hay ninguna garantía de que $(Y, i^{-1} \mathscr{O}_X)$ es un esquema incluso si $(X, \mathscr{O}_X)$ es.
Por otro lado, la definición de un cerrado subscheme depende mucho del esquema de la estructura. Si $Y$ es un subconjunto cerrado de $X$, lo que significa $Y \cap U$ es cerrado en $U$ para cada subconjunto abierto $U$ – pero sabemos que los subconjuntos cerrados de $\operatorname{Spec} A$ son homeomórficos a $\operatorname{Spec} A / \mathfrak{a}$ para algunos adecuado ideal $\mathfrak{a}$, y en esencia la estructura de $Y$ cerrado subscheme de $X$ se define de modo que tenemos una secuencia exacta
$$0 \longrightarrow i^{-1} \mathscr{I}_{Y \mid X} \longrightarrow i^{-1} \mathscr{O}_X \longrightarrow \mathscr{O}_Y \longrightarrow 0$$
o, equivalentemente, por lo que tenemos la "fundamental de la secuencia exacta":
$$0 \longrightarrow \mathscr{I}_{Y \mid X} \longrightarrow \mathscr{O}_X \longrightarrow i_* \mathscr{O}_Y \longrightarrow 0$$
Pero la historia de variedades es más sutil. Para los propósitos de esta discusión, me refiero a la "variedad" en el sentido de una reducción del esquema finito de tipo más de un algebraicamente cerrado campo de $k$. Puesto que las variedades tienen suficiente cerrada puntos, la estructura de la gavilla de una variedad $X$ es isomorfo a un subsheaf de la gavilla de funciones continuas $X(k) \to \mathbb{A}^1(k)$. (A partir de ahora, voy a pretender que no cierra los puntos no existen.) Por lo tanto, no es una forma ortodoxa de la restricción de funciones regulares en (cualquier subconjunto de) $X$ a cualquiera (no necesariamente abierto o cerrado!) subconjunto $Y$$X$. Si $Y$ está abierto, este se recupera el abierto subscheme estructura, y si $Y$ está cerrado, este recupera el cerrado subscheme estructura.
Veamos esto más de cerca. Definimos $\mathscr{I}_{Y \mid X}$ a ser el subsheaf de $\mathscr{O}_X$ que conste de las funciones regulares que se desvanecen en $Y$, es decir,
$$\mathscr{I}_{Y \mid X} (U) = \{ f \in \mathscr{O}_X : \forall y \in Y . \, f (y) = 0 \}$$
y nos definen, para cada subconjunto $V$$Y$,
$$\mathscr{O}_Y (V) = \varinjlim_{U \supseteq V} \mathscr{O}_X (U) / \mathscr{I}_{Y \mid X} (U)$$
Esta es una gavilla porque $Y$ es quasicompact. (Cada subconjunto de $X$ es quasicompact!) Si $Y$ está abierta, $V$ está abierto en $X$, por lo que estamos tomando la directa límite a más de un sistema dirigido con un terminal de objeto – por lo tanto, $\mathscr{O}_Y (V) \cong \mathscr{O}_X (V) / \mathscr{I}_{Y \mid X} (V) \cong \mathscr{O}_X (V)$ en este caso.
Para $Y$ cerrado algo raro sucede así. Deje $U$ libre afín subconjunto de $X$. A continuación, $V = U \cap Y$ es un subconjunto cerrado de $U$ y un subconjunto de a $Y$. Supongamos $f \in \mathscr{O}_X (U)$ no desaparecen en $V$. A continuación, el Nullstellensatz implica $f$ ya es invertible en a $\mathscr{O}_X (U) / \mathscr{I}_{Y \mid X} (U)$ – y esto implica que la orientación del sistema es constante! En particular, obtenemos $i_* \mathscr{O}_Y \cong \mathscr{O}_X / \mathscr{I}_{Y \mid X}$.
En general, sin embargo, no conseguimos nada agradable. Hay una natural a la izquierda de la secuencia exacta de los grupos de
$$0 \longrightarrow \mathscr{I}_{Y \mid X} (U) \longrightarrow \mathscr{O}_X (U) \longrightarrow \mathscr{O}_Y (U \cap Y)$$
y, por tanto, a la izquierda de la secuencia exacta de las poleas en $X$:
$$0 \longrightarrow \mathscr{I}_{Y \mid X} \longrightarrow \mathscr{O}_X \longrightarrow i_* \mathscr{O}_Y$$
Acabamos de ver que esto se extiende a una corta secuencia exacta al $Y$ es cerrado. Al $Y$ es abierto y $X$ es irreductible, el homomorphism $\mathscr{O}_X \to i_* \mathscr{O}_Y$ es monic, pero en general no épica. (Considere la posibilidad de un punto de $x \in X \setminus Y$: el tallo de $i_* \mathscr{O}_Y$ $x$ da la fracción de campo de el anillo local $\mathscr{O}_{X, x}$.)
