¿Cómo puedo resolver el siguiente? $$\lim_{x\to 0} \int_0^1 \cos\left(\frac{1}{xt}\right)\, dt$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si se define, debe ser igual a
$$\lim_{x\to 0}\;\lim_{a\to 0} \int_a^1 \cos\left(\frac{1}{xt}\right)\, \mathrm{d}t\;.$$
Ahora la integral está bien definido, y puede sustituir a $u = 1 / (xt)$, lo que da
$$\lim_{x\to 0}\;\lim_{a\to 0} \frac{1}{x}\int_{1/x}^{1/(ax)} \frac{\cos u}{u^2}\, \mathrm{d}u\;.$$
A continuación, integración por partes conduce a la
$$\lim_{x\to 0}\;\lim_{a\to 0} \frac{1}{x}\left(\left[\frac{\sin u}{u^2}\right]_{1/x}^{1/(ax)}+2\int_{1/x}^{1/(ax)} \frac{\sin u}{u^3}\, \mathrm{d}u\right)\;.$$
Ahora usted puede enlazado el valor absoluto de la integral tomando el valor absoluto de el integrando y soltando el seno, y ambos términos se desvanecen en el límite(s).
Martin OConnor
Puntos
116
Aquí otra toma. Desde $\cos \left(\frac{1}{xt}\right)$ es una función par de $x$, podemos tomar el límite de la derecha o de la izquierda, y el resultado es el mismo. Así que supongamos $x > 0$. A continuación, aplicar el $u = 1/(xt)$ de sustitución como en joriki la respuesta, seguido por integración por partes en la dirección opuesta a la de joriki la respuesta. La reescritura de el resultado en términos de la integral del seno se produce la salida de Wolfram Alpha mencionado por Eivind y Sivaram:
$$ \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} \int_0^{1/x} \frac{\sin u}{u} du - \frac{\pi}{2x} + \cos \left(\frac{1}{x}\right)\right).$$
Ahora, se aplican los siguientes expansión de la serie de la integral del seno $\int_0^x \frac{\sin u}{u} du$ (válido para valores grandes de a $x$): $$\int_0^x \frac{\sin u}{u} du = \frac{\pi}{2} -\frac{\cos x}{x} \left(1 - \frac{2!}{x^2} + \frac{4!}{x^4} \pm \cdots \right) - \frac{\sin x}{x} \left(\frac{1}{x} - \frac{3!}{x^3} \pm \cdots \right).$$
Después de simplificar, nos quedamos con $$\lim_{x \to 0} \left(-\cos \left(\frac{1}{x}\right) \left(- 2! x^2 + 4! x^4 \pm \cdots \right) - \sin\left(\frac{1}{x}\right) \left(x - 3! x^3 \pm \cdots \right) \right).$$
Desde $\cos \left(\frac{1}{x}\right)$ $\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ son tanto delimitada por $-1$$1$, el límite es de $0$.
Además, podemos ver que el dominante plazo en el límite de es $- x\sin\left(\frac{1}{x}\right)$, lo cual es claramente delimitado por $|x|$, como se conjeturó por Sivaram en los comentarios.
