Lo mismo para el título, ¿cuál es el significado preciso de número imaginario? Y por otro lado, ¿cómo puede el número imaginario se refleja en la Física?
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No estoy seguro de lo que quieres decir con el "preciso" el significado de un número imaginario, pero a mí me parece mejor hablar de el ejemplo prototípico de un número imaginario, la unidad imaginaria i$$, y trabajar desde allí.
Usted puede pensar de la unidad imaginaria como una solución de la ecuación $X^2+1=0$ es decir, definir $i$ a ser un número tal que $i^2=-1$ (tenga en cuenta que no puedo decir "el" número puesto que él no es el único, como $-i$ también tiene esta propiedad). Para mí, este es el significado preciso de la unidad imaginaria. Uno, a continuación, define los números complejos de $\mathbb{C}$ en términos de esta unidad imaginaria como
$$\mathbb{C}=\{a+bi \; |\; a,b\in \mathbb{R}\}.$$
Más formalmente, los números complejos se obtienen por el que se adhiere a la raíz de $X^2+1$ $\mathbb{R}$ tomando el cociente de $\mathbb{R}[X]$ por la máxima ideal $(X^2+1)$. Deje que $C= \mathbb{R}[X]/(X^2+1)$. Tenga en cuenta que $\{1,X\}$ es una base para $C$ y $X$ tiene la propiedad de que $X^2=-1$. A partir de este se ha visto que el mapa de $\varphi:C \rightarrow \mathbb{C}$ se define por $\varphi(a+bX)=a+bi$ es un isomorfismo de los campos.
Otra forma de visualizar los números complejos es el siguiente:
El conjunto $R$ de matrices de la forma
$$\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix},$$
donde $a \in \mathbb{R}$, se comporta exactamente igual que el de los números reales con respecto a las operaciones de la matriz de la adición y la multiplicación, es decir que son isomorfos como campos ($R \cong \mathbb{R}$ ). Considere la matriz $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Aviso de que esta matriz tiene la propiedad de que
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$
La configuración de $i=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ y el uso de nuestra identificación anterior, vemos que $i$ es una solución de la ecuación $X^2+1=0$. Así que con esto uno podría razonablemente creer que el significado preciso de la unidad imaginaria i $$ es $i=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Uno se da cuenta de que el conjunto de matrices $C$ de la forma
$$\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix},$$
donde $a,b \in \mathbb{R}$ se comportan precisamente como el número complejo $\mathbb{C}$ es decir son isomorfos como campos ($C\cong \mathbb{C}$), y toma este es el significado preciso de los números complejos.
Además, uno podría desarrollar formalmente los números complejos mediante la definición de los $C$ a ser el conjunto de pares $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tales que las adiciones y la multiplicación son definidos por
$$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$$ y $$(a,b), (c,d)=(ac-bd,ad+bc).$$
Primera nota de ese subconjunto $D$ de $C$ que consta de elementos de la forma $(a,0)$ comporta como elementos de $\mathbb{R}$, por lo que, en particular, $(1,0)$ es la identidad multiplicativa de $C$. Uno se da cuenta de que el elemento $(0,1) \in C$ tiene la propiedad de que $(0,1)(0,1)=(-1,0)$ y así es, una de las soluciones a la ecuación $X^2+1=0$.
HappyEngineer
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111
Este es un matemático de la vista.
En el corazón, cualquier cosa que implica la simetría implica la teoría de grupos. Nos gusta representar a nuestros grupos de matrices. Una de las formas más poderosas para el estudio de matrices es el estudio de los valores y vectores propios de las matrices.
Los autovalores de la real matrices todavía puede ser complejo, sin embargo. Así que si estamos estudiando las matrices de las simetrías en verdaderos espacios vectoriales, que a menudo terminan "romper" los elementos de ese espacio en componentes que son complejas, la cual tiene el paradójico efecto de simplificar el estudio de la matriz subyacente.
Cuanto más te metes en la física, más que interesarse en diversos tipos de simetrías, y realmente no hay manera para el estudio de las simetrías, sin mirar los números complejos. Después de un tiempo, empiezan a pensar de estos componentes complejos como partes del universo subyacente que nosotros no solo no se ve porque ellos "cancelar".
Niek
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165
El estudio de algunos circuitos LRC podría ser una buena manera de tener una idea de cómo los números complejos pueden ser usados en la física. En oposición a la Mecánica Cuántica, la comisión de reforma legislativa que los circuitos pueden ser estudiados por el promedio de primer o segundo año de licenciatura. Yale tiene un par de bastante decente conferencias sobre ellos.
Hurkyl
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57397
El significado preciso de un número complejo es que es un número complejo. Es lo que es, ni más, ni menos.
Cuando uno utiliza los números (o de otro tipo de objetos) para cuantificar las cosas, no hay que confundir el número con la cosa de ser cuantificados. Por ejemplo, la imagen
* * * * *
es no el número "5". Es simplemente una colección de asteriscos. Mediante el uso de "5" para cuantificar el número de asteriscos, podemos entender mejor y trabajar con la imagen. A veces podemos utilizar una imagen para ayudarnos a entender y trabajar con "5". Pero "5" "5" y la imagen es la imagen, y que no hay que confundir los dos.
Los números complejos son a menudo útiles para la cuantificación de una variedad de cosas, tales como las diversas propiedades de las ondas, la impedancia de un circuito, o colocar sobre una superficie plana. A menudo se puede utilizar para simplificar las fórmulas y cálculos. Estos son todos los usos de un número complejo.
Pero, ¿qué es un número como "$1 + 3 \mathbf{i}$"? "$1 + 3 \mathbf{i}$" es simplemente "$1 + 3 \mathbf{i}$", "5" es "5".
CodingBytes
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102
En primer lugar, un imaginario o número complejo es un elemento del sistema de ${\mathbb C}$ de números complejos y, como tal, es un objeto de nuestra imaginación.
En los últimos quinientos años, los matemáticos han llegado a la conclusión de que la introducción del sistema de ${\mathbb C}$ en el cuerpo de matemáticas diarias trae abrumadora beneficios para la comprensión de polinomios y varios más funciones elementales (en particular, las funciones exponenciales y trigonométricas), ecuaciones diferenciales, etcétera.
