¿Cuál es la fórmula de la elipse relativista?

Question

Si un astrónomo se mueve a velocidad relativista, las estrellas y las constelaciones se distorsionan. Ve las estrellas hacia las que se desplaza desplazadas hacia el azul, mientras que las que se alejan están desplazadas hacia el rojo. Además, la dirección aparente de las estrellas lejanas se modifica. Creo que la forma más genial de representar esto es la "elipse relativista".

Piensa en una cáscara esférica con la superficie interior reflectante. Imagina que una bombilla se enciende en el centro. La luz se refleja y vuelve a la fuente.

Ahora piensa en la misma situación observada desde un marco de referencia móvil. La luz sigue siendo emitida y vuelve al centro al mismo tiempo, pero ese punto se ha movido. Como la velocidad de la luz es la misma en todos los marcos de referencia, la distancia recorrida por cada rayo de luz tiene que ser la misma. Por tanto, las trayectorias de los rayos de luz (y el límite de la envoltura esférica) describen una elipse, la "elipse relativista" :

El dibujo de arriba es del libro "Relatividad en el espacio-tiempo curvo" que recomiendo encarecidamente y que se puede comprar aquí o aquí .

Quizá cuando llegue mi copia tenga la ecuación. Debería ser posible resolverla utilizando la invariancia de Lorentz o la contracción o algo similar.

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Según la respuesta de Helder Vélez , Capítulo 4 del libro de Hans de Vries tiene el siguiente diagrama útil:

Answer 1

¿Preguntas por la fórmula de la elipse o por la fórmula de cómo se distorsionan los ángulos en el cielo?

En el primer caso: es fácil calcular la forma y el tamaño de la elipse considerando la contracción de Lorentz. Supongamos que en el marco de reposo de la fuente, la esfera tiene un radio $r$ . Como la transformación de Lorentz no tiene efecto sobre las componentes de longitud perpendiculares al movimiento, el radio transversal del elipsoide sigue siendo el mismo, pero es sólo el eje semiminor. En la dirección del movimiento hacia delante, la longitud de la trayectoria desde la fuente hasta la esfera viene dada por

$$r_1' = \gamma\biggl(r + \frac{vr}{c}\biggr)$$

y de la esfera a la fuente,

$$r_2' = \gamma\biggl(r - \frac{vr}{c}\biggr)$$

Sumando todo esto se obtiene $r_1' + r_2' = 2\gamma r$ pero esta es la distancia total del recorrido que es justo el doble del semieje mayor del elipsoide. Así que tenemos un elipsoide con eje semimayor $\gamma r$ y el eje semiminor $r$ .

Para calcular la fórmula de la distorsión angular - aberración relativista - Consideremos que un fotón que llega al centro de la esfera viene con un ángulo $\theta$ con respecto a la dirección del movimiento (hablando con precisión: con respecto a un eje que apunta a la dirección del movimiento en el marco del observador externo). Desde el marco de referencia del observador estacionario, la componente de la velocidad de este fotón paralela a la dirección del movimiento está sujeta a la transformación de Lorentz,

$$u_{\parallel}' = \frac{u_\parallel - v_\parallel}{1 + \frac{uv}{c^2}}$$

por lo que si se conecta $u_{\parallel}' = c\cos\theta'$ , $u_\parallel = c\cos\theta$ y $v_\parallel = v$ (la velocidad relativa de la fuente con respecto al observador), se obtiene

$$\cos\theta' = \frac{c\cos\theta - v}{c + v\cos\theta}$$

Esto nos da el ángulo de un rayo de luz entrante visto por el observador externo, $\theta'$ en términos del ángulo visto por el centro de la esfera, $\theta$ .

(Es posible que haya confundido los signos; tendré que volver a revisar esto más tarde).

Answer 2

consultar el libro de Hans de Vries en línea Capítulo 4. La no simultaneidad a partir de la ecuación de onda clásica

capítulo 4.9 Los elipsoides de la simultaneidad bonitas figuras 4.13, 4.14, 4.15 y más
Las ecuaciones pertinentes están ahí.