Permítanme añadir un par de comentarios a las respuestas de Mariano y Theo.
Hay una correspondencia uno a uno entre bi-invariante métricas (de la firma) en una Mentira grupo y ad-invariante degenerada de formas bilineales simétricas en su Mentira álgebra.
En una simple Mentira álgebra cada degenerada de bilineal simétrica forma es proporcional a la Matanza de forma que usted escribió en su pregunta, por lo tanto, una simple Mentira grupo tiene, precisamente, uno de conformación de la clase de bi-invariante métricas. Si (y sólo si) el grupo es compacto, son estas métricas positivo-definida. (Algunas personas llaman a esto de riemann, reservando la palabra pseudo-riemann (o a veces también semi-riemann) por tiempo indefinido firma métricas. Personalmente prefiero utilizar de riemann para los indicadores generales.)
Uno puede hacer la pregunta: que Mentira grupos de admitir bi-invariante métricas de cualquier firma? que es lo mismo que pedir que se encuentran álgebras de admint ad-invariante no degenerada simétrica formas bilineales. Tales álgebras de Lie se llama métrica (o a veces también cuadrática, ortogonal,...) y aunque no existe una clasificación excepto en pequeños índice (índice 0 = positivo-definida, índice 1 = lorenz, etc...) no hay una estructura teorema demostrado por Alberto Medina y Philippe Revoy en este artículo (en francés). Su teorema dice que la clase de tales álgebras de Lie es generado por el simple y unidimensional de álgebras de Lie bajo dos operaciones: suma directa ortogonal y extensión doble, una construcción en la que se explica en ese papel.
Doble extensión siempre se traduce en indefinido de la firma, por lo que si usted está interesado sólo en lo positivo caso concreto, se puede regresar a el conocido resultado de que cada positivo-definida métrica Mentira álgebra $\mathfrak{g}$ es isomorfo a la suma directa ortogonal de un compacto de Lie semisimple álgebra y una abelian Mentira álgebra, o en otras palabras,
$$\mathfrak{g} \cong \mathfrak{s}_1 \oplus \cdots \oplus \mathfrak{s}_N \oplus \mathfrak{a}$$
donde el $\mathfrak{s}_i$ son los factores simples y $\mathfrak{a}$ es abelian.
Hasta automorfismos, el más general positiva definida interior del producto en una Mentira, el álgebra es dada por la elección para cada factor simple $\mathfrak{s}_i$ positivo múltiples $\lambda_i > 0$ de la Matanza forma.
Estas álgebras de Lie son precisamente las álgebras de Lie compacto Mentira grupos. Su metricity también puede ser entendida de la siguiente manera: tome positivo-definida interior del producto en $\mathfrak{g}$ y averageng sobre el adjunto de la representación.
Así que en resumen, aunque hay métrica de álgebras de Lie que no semisimple (o incluso reductora), su producto interior es siempre una estructura adicional, a diferencia de la Matanza formulario que viene gratis con la Mentira de álgebra.
Como para la pregunta sobre la diferencia entre Matar formulario y Cartan (en la Matanza) métrica depende de quién lo dice. En gran parte de la Física de la literatura de las personas se refieren a un producto interior en un espacio vectorial como una "métrica". Pero suponiendo que este no es el caso, entonces la muerte forma es una forma bilineal en la Mentira de álgebra, mientras que la métrica es una métrica (en el sentido de la geometría de riemann) en la Mentira de grupo. Si $G$ es una Mentira grupo cuyo Mentira álgebra es semisimple, entonces la muerte formulario en su Mentira álgebra define un bi-invariante de la métrica en la Mentira de grupo, que supongo que se podría llamar la Cartan-Killing métrica.
