Reventar una línea $L\subset \mathbb A^3$

Question

Estoy tratando de entender las explosiones, así que me gustaría recibir algunos consejos. Déjenme mostrarles cómo empecé a reventar una línea $L\subset \mathbb A^3$ . Cualquier sugerencia/comentario/corrección será muy apreciada.

Supongamos que $L$ viene dada paramétricamente por $x=at,y=bt,z=ct$ de modo que $x/a=y/b=z/c$ . La ampliación $\pi:\textrm{Bl}_L\mathbb A^3\to \mathbb A^3$ es la resolución del mapa racional $$ \phi:\mathbb A^3\dashrightarrow \mathbb P^1 $$ enviando $P\mapsto \lambda$ donde $H_\lambda\subset \mathbb A^3$ es el único plano que pasa por $L$ y $P$ . Por lo tanto $$\textrm{Bl}_L\mathbb A^3=\{(P,\lambda)\in \mathbb A^3\times\mathbb P^1\,|\,P\in H_\lambda \}\subset \mathbb A^3\times\mathbb P^1.$$ Si $\lambda=(u:v)$ entonces $H_\lambda$ tiene ecuación $u(xb-ya)+v(yc-zb)=0$ Así pues $$ \textrm{Bl}_L\mathbb A^3=\{((x,y,z);(u:v))\in \mathbb A^3\times\mathbb P^1\,|\,u(xb-ya)+v(yc-zb)=0 \}. $$

Pregunta 1 . ¿Es correcto?

Pregunta 2 . ¿Puede usted por favor darme una pista para encontrar las ecuaciones de la divisor excepcional $E=\pi^{-1}(L)$ ?

(Estoy atascado en la pregunta 2, porque sé que debería añadir una ecuación más a $\textrm{Bl}_L\mathbb A^3$ pero no sé cuál: $L$ tiene dos ecuaciones definitorias)

Gracias de antemano.

Answer 1

Obsérvese que para cualquier $(x,y,z)\in L,$ tenemos $xb-ya=yc-zb=0,$ lo que implica que para cada $[u:v]\in\mathbb P^1,$ tenemos $((x,y,z),[u:v])\in\operatorname{Bl}_L\mathbb A^3.$ Estos son todos los puntos del divisor excepcional. Para obtener "una" ecuación del divisor excepcional, tenemos que centrarnos en las dos gráficas de $\operatorname{Bl}_L\mathbb A^3$ por separado. En el gráfico $u=1$ el reventón se corta por $(xb-ya)+v'(yc-zb)\in\mathbb A^4 = \operatorname{Spec}(k[x,y,z,v']).$ En particular, en el anillo de coordenadas de la explosión, que escribimos como $k[x',y',z',v']$ tenemos $x'b-y'a = -v'(y'c-z'b),$ y en este gráfico, el divisor excepcional está definido por $y'c-z'b=0.$ Lo mismo ocurre, mutatis mutandis, en el otro gráfico.

Me parece un poco más fácil de entender lo siguiente. Las ecuaciones $f_1=xb-ya$ y $f_2=yc-zb$ recortar la línea $L$ por lo que sabemos que la explosión tiene dos gráficos definidos por sus anillos de coordenadas $R_1=k[x,y,z][f_2/f_1]\subseteq k(x,y,z)$ y $R_2=k[x,y,z][f_1/f_2]\subseteq k(x,y,z).$ Las ecuaciones que definen $L$ mapa, bajo $k[x,y,z]\to R_i,$ a $f_1,(f_2/f_1)f_1$ y $(f_1/f_2)f_2,f_2$ respectivamente, y la ecuación del divisor excepcional en cada gráfico es $f_1=0$ y $f_2=0.$ Te animo a que lo escribas explícitamente en el caso $L:y=0,z=0$ est le $x$ -para que no parezca un galimatías.