En $R^n$, supongamos $U$ $V$ y dos homeomórficos abrir sets. A continuación, se $U$ diffeomorphic a $V$?
Si no, podemos imponer fuertes condiciones tales que esto cierto?
Respuestas
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studiosus
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Ejemplos de este tipo ya existen en la dimensión 4: Mike Freedman fue el primero en construir pequeños exóticos $R^4$, que es un subconjunto abierto de la norma 4d espacio que es homeomórficos pero no diffeomorphic a $R^4$.
En el lado positivo, supongamos que usted tiene un colector $M$ homotopy-equivalente a un número finito de CW-complejo y $dim(M)\ne 4$, por lo que el $H_3(M, Z_2)=0$. A continuación, $M$ admite un único PL (por tramos lineales) de la estructura. Una prueba de esto puede ser encontrado en "El Hauptvermutung Libro" o este Rudyak del papel. Es también en Kirby y Siebemnann del libro, pero es prácticamente ilegible. Ya que en las dimensiones de $\le 6$ las categorías PL y diferencial son equivalentes, se deduce que para los dominios en $R^5$$R^6$, si 3 de homología se desvanece, a continuación, homeomorphism implica diffeomorphism. Una declaración similar en la que sostiene que en otras dimensiones, cuando se desea mostrar que homeomórficos colectores son diffeomorphic. Sin embargo, los obstáculos son más complicadas, la condición suficiente es que si usted tiene un $n$-colector de $M$ ($n\ne 4$) que es homotopy-equivalente a lo finito CW complejo y $H_k(M)=0$ ($k\ge 3$) a continuación, $M$ admite un único suave de la estructura. Para esto, la única referencia que sé es Kirby y Siebemnann del libro, pero, como he dicho, es esencialmente ilegible (el resultado no es ni declaró que hay en este formulario, usted tiene que slog su camino a través de Ensayo IV para llegar a esta conclusión).
Hesky Cee
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Existe una noción de categorías: lisa, modelo lineal por tramos y espacios topológicos. En cada una de las categorías hay una noción de equivalencia (o igualdad). Para suavizar hemos diffeomorphism, Pieza de sabios lineal es una pieza sabio lineal homeomorphism y topológico es homeomorphism. Estos tres no son la misma en general. Sin embargo, en la topología de baja dimensión (dimensiones de menos de 4), todos ellos son equivalentes.
