La debilidad de la convergencia en un subconjunto denso de las funciones de prueba

Question

Deje $S$ ser (la norma)subconjunto denso de un espacio de Banach $B$.

Supongamos $\varphi_n$ es una secuencia en el espacio dual $B^*$ que $\varphi \in B^*$ tenemos $\varphi_n(g) \to \varphi(g)$ todos los $g \in S$. Es cierto que $\varphi_n(f) \to \varphi(f)$ todos los $f \in B$?

Aquí están algunos de mis pensamientos:

Fix $f \in B$. Para cualquier $\epsilon > 0$ elija $g \in S$$\| f - g \|_B < \epsilon$. Por la desigualdad de triángulo tenemos \begin{align} | \varphi_n(f) - \varphi(f) | & \le | \varphi_n(f) - \varphi_n(g) | + | \varphi_n(g) - \varphi(g) | + | \varphi(g) - \varphi(f) | \\ & \le \| \varphi_n \|_{B^*} \| f - g \|_B + | \varphi_n(g) - \varphi(g) | + \| \varphi \|_{B^*} \| f - g \|_B \end{align}

Por hipótesis, el medio plazo puede ser menor que $\epsilon$ para suficientemente grande $n$, por lo tanto

$$| \varphi_n(f) - \varphi(f) | \le \| \varphi_n \|_{B^*} \epsilon + (1 + \| \varphi \|_{B^*}) \epsilon $$

El segundo término puede hacerse arbitrariamente pequeña, pero el primer término puede ser ilimitada si $\| \varphi_n \|_{B^*}$ ser arbitrariamente grande. ¿Hay alguna razón para creer que estas normas son uniformemente acotadas?

Answer 1

Esto no es cierto, aquí hay un contra-ejemplo. Deje $B=c_0$ $S=c_{00}$ de las secuencias que finalmente son cero. A continuación, $B^*=\ell^1$ y deje $(\delta_n)$ ser la base canónica. Deje $\varphi_n = n^2\delta_n$$\varphi=0$. A continuación, $\varphi_n(g) \rightarrow \varphi(g)=0$ cualquier $g\in c_{00}$ debido a que para cada una de las $g$, eventualmente $\varphi_n(g)=0$. Sin embargo, si $f=(1,1/2,1/3,1/4,\cdots)\in c_0$$\varphi_n(f) = n \not\rightarrow \varphi(f)=0$.

(El problema con la idea de usar el uniforme boundeness es que usted necesita para aplicar a los mapas de un espacio de Banach a una normativa espacio (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_uniform_boundedness ) y por lo que aquí nos gustaría mapa de $S$, lo que no es de Banach.