Integral de tipo gaussiano : $\int_0^{\infty} e^{-x^2} \cos( a x) \ \mathrm{d}x$

Question

Demostrar que :

$$ \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-\frac{a^2}{4} } =\int_0^{\infty} e^{-x^2} \cos( a x) \ \mathrm{d}x$$

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lo único que se me ocurre es diferenciar el RHS y tratar de conseguir :

$$ -2 f'(a) =a f(a) $$ Pero no pude hacerlo. ¿Puede alguien mostrarme cómo hacerlo?

Answer 1

Enfoque de ecuaciones diferenciales

Nótese que como el integrando es par tenemos $$ \int_0^\infty e^{-x^2}\cos(ax)\,\mathrm{d}x =\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(ax)\,\mathrm{d}x\tag1 $$ Entonces, diferenciando con respecto a $a$ rinde $$ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(ax)\,\mathrm{d}x &=-\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}x\sin(ax)\,\mathrm{d}x\tag{2a}\\ &=\frac12\int_{-\infty}^\infty\sin(ax)\,\mathrm{d}e^{-x^2}\tag{2b}\\ &=-\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}\sin(ax)\tag{2c}\\ &=-\frac a2\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(ax)\,\mathrm{d}x\tag{2d}\\ \end{align} $$ $\text{(2a)}$ : diferenciar
$\text{(2b)}$ : prepárese para integrar por partes
$\text{(2c)}$ : integrar por partes
$\text{(2d)}$ : $\mathrm{d}\sin(ax)=a\cos(ax)\,\mathrm{d}x$

Desde $f'(a)=-\frac a2f(a)$ tiene la solución $f(a)=ce^{-a^2/4}$ y $f(0)=\int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi}2$ , $$ \int_0^\infty e^{-x^2}\cos(ax)\,\mathrm{d}x=\frac{\sqrt\pi}{2}\,e^{-a^2/4}\tag3 $$

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Enfoque integral del contorno

$$ \begin{align} \int_0^\infty e^{-x^2}\cos(ax)\,\mathrm{d}x &=\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(ax)\,\mathrm{d}x\tag{4a}\\ &=\frac12\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}e^{iax}\,\mathrm{d}x\tag{4b}\\ &=\frac12e^{-a^2/4}\int_{-\infty}^\infty e^{-\left(x-ia/2\right)^2}\,\mathrm{d}t\tag{4c}\\[3pt] &=\frac{\sqrt\pi}2\,e^{-a^2/4}\tag{4d} \end{align} $$ $\text{(4a)}$ : simetría
$\text{(4b)}$ : $\sin(ax)$ es impar en $x$
$\text{(4c)}$ Completar el cuadrado
$\text{(4d)}$ : Teorema integral de Cauchy y $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt\pi$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{0}^{\infty}\expo{-x^{2}}\cos\pars{ax}\,\dd x:\ {\large ?}}$

\begin{align} &\color{#66f}{\large\int_{0}^{\infty}\expo{-x^{2}}\cos\pars{ax}\,\dd x} =\half\Re\int_{-\infty}^{\infty}\expo{-x^{2}}\expo{\ic\verts{a}x}\,\dd x \\[5mm]&=\half\Re\int_{-\infty}^{\infty} \expo{-\pars{x -\ic\verts{a}/2}^{2} - a^{2}/4}\,\dd x =\half\,\expo{-a^{2}/4} \Re\int_{-\infty - \verts{a}\,\ic/2}^{\infty - \verts{a}\,\ic/2} \expo{-x^{2}}\,\dd x \\[5mm]&=\half\,\expo{-a^{2}/4}\ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\expo{-x^{2}}\,\dd x}_{\ds{=\ \color{#c00000}{\root{\pi}}}}\ =\ \color{#66f}{\large{\root{\pi} \over 2}\,\expo{-a^{2}/4}} \end{align}

Answer 3

En lugar del coseno, toma $e^{iax}$ y completar el cuadrado. Esto dice que la transformada de Fourier de la distribución normal estándar es ella misma.

Answer 4

Observe que $$ a f(a) + 2 f^\prime(a) = \int_0^\infty \exp(-x^2) \left( a \cos(a x) - 2 x \sin(a x) \right) \mathrm{d} x = \int_0^\infty \frac{ \mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \mathrm{e}^{-x^2} \sin\left(a x\right) \right) \mathrm{d} x = 0 $$ Ahora sólo queda encontrar $f(0) = \int_0^\infty \exp(-x^2) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2) \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $ .

Answer 5

Un enfoque consiste en integrar $e^{-z^2}$ alrededor de un rectángulo en el plano complejo con vértices en $R,R+ia,-R+ia$ y $-R$ .

Otro enfoque consiste en ampliar $\cos ax$ en una serie de Maclaurin y luego cambiar el orden de integración y suma. Terminarás con una constante por la serie de Maclaurin de $e^{\frac{-a^{2}}{4}}$ .