Una función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es convexa (o "cóncava hacia arriba"), siempre que para todo $x,y \in \mathbb{R}$ y $t \in [0,1]$, $$f(tx + (1-t)y) \le tf(x) + (1-t)f(y).$$ De manera equivalente, un segmento de línea entre dos puntos de la gráfica se encuentra por encima de la gráfica, la región por encima de la gráfica es convexo, etc. Quiero saber por qué la palabra "convexo" va con la desigualdad en este sentido, y como puedo recordar. Todas las razones que he escuchado hace tanto sentido aplicado a la opuesta a la desigualdad (cóncava hacia abajo").
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Alex Bolotov
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Cade
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Digamos que usted acepta la definición de un conjunto convexo en dimensiones superiores, como una esfera en $\mathbb{R}^3$. La pregunta que me buscan para dar una idea de que es el por qué de las funciones convexas en una variable se define como la apertura hacia arriba en lugar de hacia abajo, ya que esto parece una definición arbitraria. Esto es debido a que, dependiendo de cómo se mire el gráfico, usted podría ingenuamente vista de la función como doblar hacia afuera (como un conjunto convexo) o hacia dentro (cóncava). Sin embargo, hay una buena conexión entre estas dos cosas usando la métrica de los espacios que creo que puede dar sentido a la forma en que se define.
La mayoría de las métricas que usted está familiarizado con tener abiertas las bolas que son convexas, tales como el estándar de métrica. Pero algunas son realmente no convexo. Un buen ejemplo de esto es de $ d(x,y) = \sum \sqrt{|x_i - y_i |} $. (tenga en cuenta que $\sqrt{x}$ no es una función convexa)
Aquí es interesante la condición:
Dada una métrica $d$. Si para todo $y,z\in E$ y $0\leq t\leq 1$,
$d \left(x, \ t y \; \, + \; (1-t) z \right) \quad \leq \quad t d(x,y) \; + \; (1-t) d(x,z) $
a continuación, el abierto de bolas formadas por $d$ es convexo. [1] En otras palabras, si fijas de $x$ y $d(y):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ es una función convexa, entonces el abierto de bolas son conjuntos convexos.
Por lo general $d(x,y) = \sum f \, (x_i,y_i)$, $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$. Si corregimos el valor de $x$ y $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ se ajusta a la definición de una función convexa, entonces $d$ también será convexa, y la condición se tendrá por satisfecho, lo que nos da convexa de bolas.
Para funciones convexas (si se puede formar una métrica) le dará convexo abierto bolas. Una buena conexión que hace que la definición más sentido. Otras condiciones que garantizan convexo abierto las bolas se discute en el artículo I de referencia.
[1] Norfolk, T. (1991). Cuando se hace una métrica generar convexo pelotas? www.math.uakron.edu/~norfolk/convexo.ps
m0j0
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21
El concepto principal es la convexidad, no concavidad. Se aplica a las figuras geométricas, originalmente lentes, y este uso fue adaptado a las funciones. No es comparable el concepto de concavidad, por ejemplo, 2-dimensional de las regiones, excepto la ausencia de la propiedad de convexidad. También no hay ninguna propiedad de las figuras, en general, correspondiente a la anti-convexidad de la desigualdad, porque la mayoría de no-convexo, las cifras serán localmente convexo. Es una cuestión de la histórica convención de que una función se llama "convexo" si la región por encima de la gráfica de la función es convexa, y que habría causado ningún problema matemático a utilizar la convención opuesta basada en la región a continuación, pero concavidad es más limitado concepto que se define en términos de la convexidad (o sólo se define por las funciones) y no la otra manera alrededor.
Los términos "cóncavo" y "cóncava hacia abajo" aparecen principalmente en la no-especialista universitario de estados unidos los libros de texto de cálculo. No son estándar de la terminología y, creo, una mala práctica que debe ser desalentado (con suerte y suficiente crueldad tal vez puedan ser aplastadas en una generación...). Tan lejos como puedo saber la etimología fue de la siguiente manera:
Como "convexo", la palabra "cóncavo" tiene un uso anterior de la óptica. Cóncava (hacia el interior de la curva) las lentes son el opuesto de lentes convexas, por lo que existe un pre-existentes a la palabra "no convexo" o "convexo en la dirección opuesta".
Convexo es absolutamente arraigada uso matemático para denotar convexa de las figuras, así como las funciones (y secuencias) con el aumento de la derivada.
Las funciones cuya negativa es convexa se producen con frecuencia y "cóncavo [función]" entró en uso como una buena descripción de esta situación. La lógica lingüística fue lo suficientemente clara para que esta inmediatamente comprensible. No está claro si fue más o menos favorecido en comparación con las declaraciones que implican los negativos, tales como decir que $f(u)$ es convexo, o $f$ es anti-convexo, o que es el negativo de una función convexa. No tengo los datos a mano a partir de las búsquedas en la web ni nada de eso, pero creo que la concavidad es menos común como una descripción de la negativa convexo secuencias. Para las funciones de la habilidad para dibujar una gráfica que hace que el parecido con lentes más clara, por lo que ambas palabras parecen razonables. (añadido: concavidad, como contrapartida a la convexidad de funciones y secuencias también ganó impulso como su propio plazo una vez que inicie sesión-convexidad y log-convexa, se convirtió en estándar de uso. Debido a que la relación entre log-convexa y registro-cóncavo funciones no es simplemente cambiar de signo, sino un inverso multiplicativo, utilizando sólo las palabras basado en la convexidad pueden llevar a la confusión o circunloquios.)
Los autores NOS colegio de cálculo de los libros de texto, escrito para un público no familiarizado con o necesariamente interesados en la convexa de las figuras y la óptica, y conscientes de la posibilidad de confusión (por ejemplo, la gráfica de una función cóncava todavía los límites de un convexo de la región en forma de, o el uso posterior de convexa a describir las funciones de varias variables y las regiones en los que se definen) cocinado en una terminología basada en la "concavidad" como un stand-alone concepto, se limita a la de una variable contexto en el que $f(x)$ es graficado con el $$y-eje de dirección hacia arriba. No está claro cómo consistentes este cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la terminología entre los libros y si está de acuerdo con lo anterior, no confundir el uso de cóncava a denotar negativo de la convexidad.
Jon Clegg
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Se dice que una línea de "apoyo" a la gráfica de una función (o, de hecho, cualquier subconjunto del plano Cartesiano) si se "sostiene" el gráfico: el gráfico se encuentra enteramente por encima o en la línea. (Después de todo, la gravedad tira hacia abajo!) Se podría pensar en la unión de todas las líneas de apoyo como de la "tierra" en el que la gráfica de la mentira, y todo lo demás-su conjunto teórico complementar--es el "cielo".
Una función de los números reales es convexa si y sólo si su gráfica es el límite entre la tierra y el cielo. Este es un caso especial de la más general, la idea de que la convexidad que se aplica a la plana regiones, la misma que la conocida distinción entre convexos y no convexos polígono, por ejemplo. Por regiones arbitrarias, no hay "arriba" y "abajo", aunque, por lo que podemos decir que una línea admite una región cuando la región se encuentra en su totalidad dentro de uno de los dos cerrada la mitad de los aviones delimitada por la línea. (Por lo tanto, el interior y el límite de un polígono convexo forma de su "cielo" y de todo lo exterior es la "tierra.")
En resumen, la llamada a un "cóncava hacia arriba" función "convexo", une a los dos estrechamente relacionados con los conceptos familiares y se justifica por el universal en la tierra de la experiencia humana que en general, la gravedad tira hacia abajo.
