Si $G$ es isomorfo a$H$, ${\rm Aut}(G)$ es isomorfo a ${\rm Aut}(H)$

Question

Si un grupo de $G$ es isomorfo a $H$, demuestran que, a ${\rm Aut}(G)$ es isomorfo a ${\rm Aut}(H)$.

Alguien puede proporcionar un paso a paso de la solución? Explicando a lo largo de la manera en que nuestra estrategia en probar este.

Answer 1

Deje $\phi:G\to H$ ser un isomorfismo. Un útil intuición es que $G$ $H$ son apenas dos manifestaciones de un mismo objeto, salvo que el grupo de elementos que pueden tener nombres diferentes en los dos casos. La asignación de $\phi$ nos dice que para cada elemento $g\in G$ elemento $\phi(g)\in H$ corresponde a este elemento. En otras palabras, $\phi$ nos dice cómo cambiar el nombre de los elementos de $G$ para obtener elementos de $H$. La inversa de este isomorfismo, $\phi^{-1}:H\to G$ nos dice, cómo llegar de un elemento $h\in H$ a un elemento $\phi^{-1}(h)\in G$.

Ahora supongamos $\alpha:G\to G$ es un automorphism. (Tenga en cuenta que un automorphism puede ser considerado como "una estructura-la preservación de cambio de nombre de los elementos en el grupo".) Ya que consideramos que $H$ como otra versión de $G$ con diferentes nombres de los elementos, debemos esperar que este automorphism que corresponden a algunas de automorphism $\Phi(\alpha):H\to H$. Pero, ¿cómo llegar a este automorphism?

Recordar que podemos considerar un elemento $h\in H$ a ser sólo ha cambiado el nombre de la versión de algún elemento $g\in G$, es decir,$g = \phi^{-1}(h)$, lo que nos lleva a la idea de que podríamos definir el deseado automorphism $\Phi(\alpha)$ simplemente cambiar el nombre del elemento $h$ a "lo que se llama en $G$", luego hacer lo $\alpha$, para obtener el resultado, y luego cambiar el nombre de nuevo, para obtener "el nombre de el resultado en $H$".

Si trazamos lo que esto hace, obtenemos: $$h\mapsto \phi^{-1}(h)\mapsto \alpha(\phi^{-1}(h))\mapsto \phi(\alpha(\phi^{-1}(h))),$$ so the automorphism $\Phi(\alpha): H\H$ será definido por

$$\Phi(\alpha)=\phi\circ\alpha\circ\phi^{-1}.$$

Usted puede verificar que el $\Phi:\operatorname{Aut}(G)\to\operatorname{Aut}(H)$, definido de esta manera, es de hecho un isomorfismo de grupos. (Tenga en cuenta que $$\Phi(\beta)\circ\Phi(\alpha)=(\phi\circ\beta\circ\phi^{-1})\circ(\phi\circ\alpha\circ\phi^{-1})=\phi\circ\beta\circ\alpha\circ\phi^{-1}=\Phi(\beta\circ\alpha).$$)

Podemos expresar visualmente la definición de $\Phi$ por el siguiente diagrama conmutativo:

$$\newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5 ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5 ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \newcommand{\ua}[1]{\bigg\uparrow\subir.5ex\rlap{\scriptstyle#1}} \begin{array}{c} G & \ra{\alpha} & G\\ \da{\phi} & & \ua{\phi^{-1}}\\ H & \ras{\Phi(\alpha)} & H\\ \end{array}$$

Answer 2

Si $C$ es cualquier categoría de objetos de $x,y$ tal que $x \cong y$, $\mathrm{Aut}(x) \cong \mathrm{Aut}(y)$ como grupos. Es decir, si $f : x \to y$ es un isomorfismo, entonces cada automorphism $g : x \cong x$ puede ser "conjugado" a un automorphism $y \xrightarrow{f^{-1}} x \xrightarrow{g} x \xrightarrow{f} y$, y viceversa.

Answer 3

SUGERENCIA: se debe tener claro que la primera cosa a hacer es el nombre de un isomorfismo entre el$G$$H$: vamos a $h:G\to H$ ser un isomorfismo. Ahora usted desea utilizar $h$ de alguna manera a la construcción de un isomorfismo entre el$\operatorname{Aut}(G)$$\operatorname{Aut}(H)$. Supongamos que $\varphi\in\operatorname{Aut}(G)$. ¿Cómo puede usted utilizar $\varphi$ $h$ a la construcción de un automorphism de $H$? Sólo hay una cosa razonable para probar.

Un automorphism de $H$ mapas de $H$$H$, así que empieza con una arbitraria $x\in H$. El uso de $h^{-1}$ encontrar el elemento correspondiente $h^{-1}(x)$$G$, se aplican $\varphi$ a que elemento para obtener otro elemento de $G$, y el uso de $h$ encontrar el elemento correspondiente de $H$. Esto puede sonar un poco complicado, pero es sólo una composición de funciones. Demostrar que el mapa que hemos construido a partir de $H$ $H$realmente es un automorphism.

Para mostrar que cada automorphism de $H$ surge de esta manera, acaba de empezar con un automorphism $\psi$ $H$ y el uso de las mismas ideas para encontrar una $\varphi\in\operatorname{G}$ que se le envía a $\psi$ por el mapa descrito en el párrafo anterior.