Director de ideal del anillo

Question

¿Existe un anillo que no es un director ideal anillo y que tiene exactamente seis diferentes ideales?

(Para mí un anillo conmutativo con elemento unidad.)

Me puede mostrar que cualquier anillo de tener en la mayoría de los cinco ideales es una de las principales ideales del anillo.

EDIT: La prueba es el siguiente, no es tan difícil. Supongamos que $R$ es un anillo que no es principal y que tiene más de cinco ideales. A continuación, debe existir una adecuada ideal de la forma $(\alpha,\beta)$ $R$ que no es principal. A continuación, $(0), (\alpha),(\beta),(\alpha, \beta), R$ debe ser el cinco diferentes ideales de $R$. Pero, ¿qué acerca de la $(\alpha + \beta)$? No puede ser $(0)$ o $(\alpha,\beta)$ o $R$. Decir que es $(\alpha)$. Entonces tenemos que $\alpha \mid \beta$, por lo tanto $(\alpha,\beta) = (\alpha)$, contradicción! Del mismo modo, no puede ser $(\beta)$. Por lo tanto hemos terminado.

Answer 1

Sí; el anillo de $R=\mathbb{F}_2[x,y]/(x,y)^2$ tiene exactamente seis ideales, a saber, $$R$$ $$|$$ $$(x,y)$$ $$\text{ / }\qquad |\qquad \text{ \ }$$ $$\quad\quad(x)\quad\quad(y)\,\,\,\,\quad (x+y)$$ $$\text{ \ } \qquad |\qquad \text{ / }$$ $$(0)$$ Sólo hay 8 elementos del anillo (representantes de la forma$a+bx+cy$$a,b,c\in\mathbb{F}_2$) y uno puede comprobar que estos son todos los ideales por primera examinar todas las principales ideas, que terminan siendo los ideales $(0),(x),(y),(x+y),R=(1)$; para luego destacar que cualquier no-director adecuada ideal debe contener exactamente 4 elementos (como un subgrupo aditivo de $R$, debe tener el tamaño 1, 2, o 4; pero si es de tamaño 1 o 2 necesariamente será el director, generado por 0 (si el tamaño 1) o su elemento no nulo (si el tamaño 2)), y cualquiera de los 4 elementos de la $1+bx+cy$ es una unidad, por lo que no puede contener ninguno de ellos si es que el ser correcto. Por lo tanto el único no-principal ideal es $(x,y)$.

Por cierto, este anillo se acercó a mi pregunta aquí.