Interpretación de $p$-formas

Question

Sea $M$ una variedad suave, sea $C^{\infty}(M)$ el conjunto de todas las funciones suaves de $M$ a $\mathbb R$ y sea $Vec(M)$ el conjunto de todos los campos vectoriales en $M$. Una $1$-forma en $M$ es un homomorfismo de módulo $C^{\infty}(M)$ de $Vec(M)$ a $C^{\infty}(M)$. Denotemos el conjunto de todas las $1$-formas en $M$ por $\Omega^1(M)$. Entonces, una $p$-forma se define como un elemento de $\bigwedge^p \Omega^1(M)$.

¿Cuál es la interpretación matemáticamente correcta para los elementos de $\bigwedge^p \Omega^1(M)$? Los elementos de $\Omega^1(M)$ son solo funciones de $Vec(M)$ a $C^{\infty}(M)$. ¿Los elementos de $\bigwedge^p \Omega^1(M)$ también son funciones? En caso afirmativo, ¿cuál es su dominio y codominio?

Answer 1

Los productos tensoriales se toman con respecto a $C^{\infty}(M)$; (multi)lineal significa $C^{\infty}(M)$-(multi)lineal; $\Gamma(E)$ denota el espacio de secciones de un fibrado vectorial $E\xrightarrow{\pi}M$; un conjunto abierto $U\subset M$ se dice que trivializa $E$ si la restricción $E\big|_{U}\to U$ de $E$ a $U$ es trivial.

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Hay un primer hecho general: dados los fibrados vectoriales $E_1,\dots,E_n$ sobre $M$, el espacio de secciones del fibrado tensorial $E_1\otimes\dots\otimes E_n\to M$ es isomorfo al producto tensorial de los espacios de secciones: $$\Gamma(E_1\otimes\dots\otimes E_n)\simeq\Gamma(E_1)\otimes\cdots\otimes\Gamma(E_n)$$ Hay un mapa obvio $\Gamma(E_1)\otimes\cdots\otimes\Gamma(E_n)\to\Gamma(E_1\otimes\dots\otimes E_n)$ que siempre es inyectivo (mirar localmente). Es fácil ver que es sobreyectivo si $M$ es compacto (partición de la unidad subordinada a una cobertura finita de $M$ por conjuntos abiertos que trivializan todos los $E_1,\dots,E_n$). Esto sigue siendo un isomorfismo cuando $M$ solo se asume de segunda numerabilidad (es decir, paracompacto), pero requiere un argumento menos obvio utilizando la dimensión de recubrimiento de $M$: si $E\to M$ es un fibrado vectorial y si $M$ tiene dimensión $d$, existe una cobertura abierta finita por $d+1$ conjuntos abiertos que trivializan $E$.

La misma demostración se extiende a los powers simétricos y exteriores: $$\mathrm{Sym}^n\Gamma(E)\simeq\Gamma(\mathrm{Sym}^nE)\quad\text{y}\quad\Lambda^n\Gamma(E)\simeq\Gamma(\Lambda^nE)\,.

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Un segundo hecho general es el siguiente: si $E,F$ son dos fibrados vectoriales sobre $M$, entonces el espacio de aplicaciones lineales $\Gamma(E)\to\Gamma(F)$ es isomorfo a $\Gamma(E^*\otimes F)$ (nuevamente, lineal significa $C^{\infty}(M)$-lineal). Hay una inclusión obvia $\Gamma(E^*\otimes F)\subset\mathrm{Hom}_{C^{\infty}(M)}(\Gamma(E),\Gamma(F))$, y a la inversa, dada una aplicación lineal $c:\Gamma(E)\to\Gamma(F)$ uno puede construir (localmente al principio) una sección $\tilde c$ de $E^*\otimes F$. Como caso especial, tomando $F=\Bbb R\times E$ el fibrado unidimensional trivial (de modo que $\Gamma(F)=C^{\infty}(M)$), vemos que $\Gamma(E)^*\simeq\Gamma(E^*)$.

La misma demostración se extiende para mostrar que la aplicación simétrica (una que no se ve afectada por permutar las entradas) $$\mathrm{Sym}^n\Gamma(E)\to\Gamma(F)$$ surge de una sección de $\mathrm{Sym}^n(E^*)\otimes F\,\big(\simeq \mathrm{Sym}^n(E)^*\otimes F\big)$, y las aplicaciones alternadas $$\Lambda^n\Gamma(E)\to\Gamma(F)$$ surgen de secciones de $\Lambda^n(E^*)\otimes F\,\big(\simeq \Lambda^n(E)^*\otimes F\big)$.

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Lo que hemos establecido es que $\Gamma$ conmuta con todas las operaciones habituales en espacios vectoriales (resp. módulos $C^{\infty}(M)$) cuando se aplican a fibrados vectoriales de dimensión finita: tomar duales, tomar productos tensoriales, potencias simétricas o exteriores, conjuntos Hom-...

Combinando estos hechos, se recupera las dos interpretaciones de $\Lambda^p\Omega^1(M)$ que conozco: $$\Lambda^p\Omega^1(M)=\Lambda^p\Gamma(T^*M)\simeq\Gamma(\Lambda^pT^*M)$$ (que es la definición habitual de $\Omega^p(M)$) se expresa como el espacio de secciones del fibrado $\Lambda^pT^*M$, y $$\Lambda^p\Omega^1(M)\simeq\Gamma(\Lambda^pT^*M)\simeq\Gamma((\Lambda^pTM)^*)\simeq\Gamma(\Lambda^pTM)^*\simeq\big(\Lambda^p\Gamma(TM)\big)^*$$ el espacio de todas las aplicaciones $C^{\infty}(M)$-lineales skew-simétricas $$\mathrm{Vec}(M)\times\cdots\times\mathrm{Vec}(M)\to C^{\infty}(M)$$

Answer 2

Su definición de una forma diferencial $p$ en una variedad $n$-dimensional $M$ es ligeramente diferente a la que aprendí.

La definición con la que estoy familiarizado es la siguiente: dada una varieda $n$-dimensional $M$, una forma diferencial $p$ $\omega$ es una función que asigna a cada punto de $M$ un $p$-tensor alternante cuyo dominio es el espacio tangente en ese punto. Es decir, para cada $x\in M$ $\omega(x)\in\Lambda^p[T_x(M)^*]$. Una vez que sabes que los $p$-tensores elementales forman una base para $\Lambda^p[T_x(M)^*]$ para cada punto $x\in M$, los elementos de $\Lambda^p[T_x(M)^*]$ se parecen a combinaciones lineales de $C^\infty(M)$ de los $p$-tensores elementales. Por supuesto, los $p$-tensores elementales se parecen a $dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_p}$ con $1\leq i_1

Entonces, algunos ejemplos de formas diferenciales 1 en $S^2$ son $dx+dy$, $x^4dx$, y $\frac{1}{y^2+x^4}dy$. Y un ejemplo de una forma diferencial 2 es $(x^2+y^2)dx\wedge dy$ (esta forma diferencial 2 es igual a $dx\wedge dy$ en $S^2$).

Mi definición no es estrictamente diferente a la tuya per se. La que estoy familiarizado enfatiza la naturaleza local de una forma $p$ mientras que la tuya enfatiza la naturaleza global. Usemos nuestras definiciones de formas diferenciales 1 para explorar la sutileza, ya que pareces estar de acuerdo con esa definición.

Tu definición dice que una 1-forma es un homomorfismo de módulos $C^\infty(M)$ de $Vec(M)$ a $C^\infty(M)$. En otras palabras, toma un campo vectorial en $M$ y devuelve una función suave en $M$. Consideremos dos campos vectoriales diferentes en $M$ que comparten algunos vectores de velocidad (o vectores tangentes), digamos, en $x$ por ejemplo. Las restricciones de suavidad indican que las dos funciones suaves diferentes que nuestra 1-forma devuelve tendrán que coincidir en $x$. Entonces, en lugar de pensar en una 1-forma actuando sobre $Vec(M)$ puedes pensar en ella actuando simplemente en los vectores tangentes en $x$ a medida que $x$ varía (esta es mi definición).

Ahora intentemos entender $\Lambda^p\Omega^1(M)$. Olvidemos toda la estructura adicional que $\Omega^1(M)$ trae consigo y solo pensemos en ella como un módulo $C^\infty(M)$. Olvidar la estructura adicional te permite ver cuál es el dominio. El dominio de los elementos de $\Lambda^p\Omega^1(M)$ son $Vec(M)^p$ (un elemento de $Vec(M)^p$ es un campo $p$-vectorial; un campo $p$-vectorial es como un campo vectorial pero en lugar de 1 vector tangente en cada punto hay $p$) y cada uno mapea a $C^\infty(M)$. Si en lugar de eso solo pensamos en estos elementos localmente, verás que asignan un $p$-tensor alterno a cada punto de $x\in M$ que 'consume' $p$ vectores del espacio tangente de $x$ y arroja un escalar. Esto se debe a que las restricciones de suavidad obligarán a que las funciones suaves resultantes coincidan en $x$ al considerar el mismo conjunto de $p$-vectores que resultan estar en distintos campos $p$-vectores.