Royden de la Proposición 35 en la Sección 7.9 es cierto, pero su argumento es seriamente deficiente. El corazón del argumento es su Proposición 34, que es esencialmente esto:
La proposición: Vamos a $Y$ ser un subconjunto de un espacio topológico $X$, y deje $f:Y\to M$ ser un mapa continuo en un espacio métrico $(M,d)$. A continuación, $f$ puede ser extendido a una función continua $\overline f:G\to M$ donde $G$ $G_\delta$en $X$$Y \subseteq G$.
Su prueba parece ser muy incompletos, en el que se requiere más que rellenar los detalles; yo no puedo ver ninguna manera de hacer que funcione sin el supuesto de que $Y$ es denso en algunos $G_\delta$en $X$. (De hecho, es falso como se indica: ver abajo.) En ese caso se puede argumentar como en la prueba de Kuratowski del resultado: si $Y$ es un subconjunto denso de $A$$G_\delta$$X$, la $G = \{x\in A: \operatorname{osc}_f(x)=0\}$$G_\delta$$X$, e $f$ se extiende a $G$. En particular, si $Y$ es denso en $X$ podemos tomar $A$ $X$ sí. (En esta versión del Teorema de 4.3.20 en Engelking.) Afortunadamente, esto es suficiente para dar el resultado deseado.
Teorema: Vamos a $Y$ ser un subconjunto denso de un espacio de Hausdorff $X$, y deje $h:Y\to M$ ser un homeomorphism de $Y$ a un completo espacio métrico $M$. A continuación, $Y$ $G_\delta$en $X$.
Prueba: Desde $Y$ es denso en $X$, la versión corregida de la proposición se asegura de que hay un $G_\delta$-establecer $G\supseteq Y$ y un continuo $\overline h:G\to M$ extender $h$. Deje $f = h^{-1}\circ \overline h:G\to Y$, y deje $g = \operatorname{id}_G:G\to G$; claramente $f \upharpoonright Y = g\upharpoonright Y = \operatorname{id}_Y$. El rango de $G$ es Hausdorff, por lo $f$ $g$ está de acuerdo en un subconjunto cerrado de $G$ y de ahí en $G \cap \operatorname{cl}Y = G$. Pero, a continuación,$f = g$, lo $Y = \operatorname{ran}f = \operatorname{ran}g = G$, e $Y$ es por lo tanto un $G_\delta$$X$.
Royden correctamente requiere de $X$ a ser Hausdorff, pero al parecer por la razón equivocada: a juzgar por su Ejercicio de las 8.30, a las que se refiere en este punto, él piensa que él tiene el dominio de $f$ $g$ a ser Hausdorff para asegurarse de que son idénticos, en lugar de la gama. Aquí está el ejercicio en cuestión:
Deje $A \subset B \subset \overline A$ ser subconjuntos de un espacio de Hausdorff, y deje $f$ $g$ dos continuo mapas de $B$ a de un espacio topológico $X$ $f(u) = g(u)$ todos los $u \in A$. A continuación,$f \equiv g$.
Por supuesto, esto es falso, como puede ser visto por tomar $A = \omega$, $B = \omega+1$, $X = \{0,1\}$ con los no-vacío abierto conjuntos de $\{0\}$ y $X$, $f$ la constante $0$ función en $\omega+1$, e $g$ la función característica de a$\{\omega\}$$\omega+1$.
A ver que Royden la Proposición 34 es falso como se ha dicho, vamos a $D$ ser un conjunto de potencia $\omega_1$, y deje $p$ $q$ dos puntos que no están en $D$. Deje $X = D \cup \{p,q\}$, y topologize $X$ como sigue: puntos de $D$ son aislados, y la base de abrir nbhds de $p$ ($q$, resp.) son los conjuntos de la forma $\{p\} \cup (D \setminus C)$ ($\{q\} \cup (D \setminus C)$, resp.), donde $C$ es cualquier contables subconjunto de $D$. Deje $Y = \{p,q\}$. Deje $M = \{0,1\}$ como un subespacio de $\mathbb{R}$ con la métrica usual, y definir $f:Y\to M$$f(p) = 0$$f(q) = 1$. A continuación, $f$ es un homeomorphism, sino $p$ $q$ no han desunido nbhds en cualquier $G_\delta$ contiene tanto de ellos, por lo $f$ no tiene extensión continua a un $G_\delta$.
