Búsqueda de $\lim\limits_{h \to 0}\frac{(\sqrt{9+h} -3)}{h}$

Question

Tengo unos 10 de estos problemas podría post, no figura ninguno de ellos...y no sabe qué hacer.

$$\lim_{h \to 0}\dfrac{(\sqrt{9+h} -3)}{h}$$

Sé que tengo que racionalizar, así que se multiplica por el numerador de la cual me da

$9 + h - 9$ (no estoy seguro de si es positivo o negativo, ya que la es $-3$ cuadrado debería ser$9$, pero también podría ser menos el cuadrado de $3$ de los que serían -9 /h sqr(9+h) -3

Desde que me puede dividir por h y obtener 1/3-3

que yo sé que está mal. ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Si $\rm\ f(x)\: = \ f_0 + f_1\ x +\:\cdots\:+f_n\ x^n\:$$\rm\: f_0 \ne 0\:$, a continuación, racionalizar el numerador por debajo de los rendimientos

$$\rm \lim_{x\:\to\: 0}\ \dfrac{\sqrt{f(x)}-\sqrt{f_0}}{x}\ = \ \lim_{x\:\to\: 0}\ \dfrac{f(x)-f_0}{x\ (\sqrt{f(x)}+\sqrt{f_0})}\ =\ \dfrac{f_1}{2\ \sqrt{f_0}}$$

Su problema es el caso especial $\rm\ f(x) = 9 + x\ $ $\rm\ f_0 =9,\ f_1 = 1\:,\:$ por lo que el límite es igual a $\:1/6\:.\:$

Cuando el estudio de los productos que van a ver, la mecanización de este proceso de una manera muy general. Es decir, el límite anterior se $\rm\:g'(0)\ $$\rm\:g(x) = \sqrt{f(x)}\:,\:$, por lo que la aplicación de las reglas generales para el cálculo de los derivados fácilmente mecánicamente calcular el $\rm\:g'(x)\: =\: f\:\:'(x)/(2\:\sqrt{f(x)})\:.\:$ Evaluación en $\rm\:x=0\:$ llegamos a la conclusión de que $\rm\: g'(0)\: =\: f\:\:'(0)/(2\:\sqrt{f(0)})\: =\: f_1/(2\:\sqrt{f_0})\:,\:$ exactamente como el anterior.

Answer 2

En respuesta al comentario de Jordan Carlyon. Empezamos por racionalizar el numerador. Para hacer que lo que se multiplica y se divide $\sqrt{9+h}-3$$\sqrt{9+h}+3$. En general $\sqrt{a}-b$ sería racionalizado multiplicando y dividiendo por $\sqrt{a}+b$.

$$\begin{eqnarray*} \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\sqrt{9+h}-3}{h} &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \left( \sqrt{9+h}-3\right) \left( \sqrt{9+h}+3\right) }{h\left( \sqrt{9+h} +3\right) } \\ &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left( \sqrt{9+h}\right) ^{2}-3^{2}}{h\left( \sqrt{9+h}+3\right) } \\ &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{9+h-9}{h\left( \sqrt{9+h}+3\right) } \\ &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h\left( \sqrt{9+h}+3\right) } \\ &=&\lim_{h\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{9+h}+3} \\ &=&\frac{1}{\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\sqrt{9+h}+3} \\ &=&\frac{1}{\sqrt{9}+3} \\ &=&\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$$

Como alternativa, puede utilizar la regla de L'Hôpital, como me escribió en mi respuesta a tu 1ª pregunta.

Agregado: Desde que usted "no aprendido sobre los derivados sin embargo," y esta regla se utiliza la evaluación de los derivados, se supo más tarde.

Answer 3

Considere la posibilidad de $f:[0,\infty[\to \mathbb{R}:x\mapsto \sqrt{x}$. Entonces $$\begin{align*} f'(9)&=\lim_{h\to 0} \frac{f(9+h)-f(9)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{9+h}-3}{h},\\ f'(x)&= \frac{1}{2\sqrt{x}}, \end{align*}$$ por lo $$f'(9)=\frac{1}{6}.$$

Answer 4

Deje $t=\sqrt{9+h}$. A continuación, $h=t^2-9$ $h \to 0$ fib $t \to 3$, por lo que su límite es igual a $\lim_{t \to 3} \frac{t-3}{t^2 - 9}$. Desde $t^2 -9 = (t-3)(t+3)$, esto es sólo $\lim_{t \to 3} \frac{1}{t+3} = \frac{1}{6}$.

Answer 5

La publicación como no he visto a nadie sugerir expansión de Taylor todavía.

$$\lim_{h \to 0}\dfrac{\sqrt{9+h} -3}{h} = \lim_{h \to 0}\dfrac{3\sqrt{1+h/9} -3}{h}$$

Taylor ampliar el numerador se convierte en $3(1+ \frac{1}{2}\cdot\frac{h}{9}) -3 = \frac{h}{6} + O(h^2)$

$$\lim_{h\to 0} \dfrac{h/6+O(h^2)}{h} = \frac{1}{6}$$