Deje $G$ un grupo finito tal que $\lvert G \rvert=pm$, $p$ un primer y $\gcd(p,m)=1$. $G$ tiene una única Sylow $p$-subgrupo $P$. Demostrar $P\lhd G$.

Question

Acabo de hacer este ejercicio, dejó como tarea para casa, y estoy casi seguro que hice algo mal, o al menos que hay una mejor manera de resolverlo. Aquí va:

Deje $G$ un grupo finito tal que $\lvert G \rvert=pm$, $p$ un primer y $\gcd(p,m)=1$. Supongamos que $G$ tiene una única Sylow $p$-subgrupo $P$. Demostrar que $P\trianglelefteq G$.

Yo:

Prueba: El Sylow $p$-subgrupos $P$ $G$ son, en nuestro caso, los subgrupos de $G$ con el fin de $p$. Sólo hay uno, por lo $\lvert P \rvert=p$. Sabemos que, si $N_G(P)$ denota la normalización de $P$$G$, verifica esto: $P\trianglelefteq N_G(P)$, debido a $P\leq G$. También sabemos que la normalización $P$ es exactamente el centralizador de $P$, que es un subgrupo de $G$. Entonces:

\begin{equation} P\trianglelefteq N_G(P)=G_P\leq G \implies P \trianglelefteq G. \end{equation}

Empezamos Sylow de hoy, así que he usado algunos de los lemas que hemos probado esta semana para hacer esta prueba, pero a mí me parece que hay algo mal.

Me gustaría que mi prueba de ser criticado. Gracias.

Answer 1

Cualquier automorphism, $\varphi$ $G$ envía $P$ a otro grupo de orden $p$. Pero sólo hay una, así que la imagen $\varphi(P)=P$, ya que es el único. Por lo $P$ es característico, por lo tanto normal, ya que la conjugación es más que la aplicación de la automorphism $g\mapsto x^{-1}gx$.

No estoy seguro de cómo su prueba logra la prueba de normalidad, si quieres que el enfoque sea más eficaz, es posible que desee agregar más información para que sea más claro para el lector cómo que realmente demuestra el resultado que se solicita que se muestran.

Otra manera simple de mostrar esto-si usted no quiere suss los detalles de la prueba de forma más explícita para que funcionara, es tener en cuenta que el $x^{-1}Px$ es un subgrupo de $G$ orden $p$ (es un bijective homomorphism) y aplicar la singularidad--si usted no ha aprendido la palabra "característica" sin embargo, este es el low-tech manera de hacer la prueba de que he comenzado mi respuesta.

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Si no puede ver el bijective homomorphism de la propiedad, es bastante fácil:

$1$) Bijection: Considerar el mapa de $\varphi_x(g)=x^{-1}gx$, el (dos caras) inverso es el mapa $\varphi_{x^{-1}}: g\mapsto xgx^{-1}$, por lo que es un bijection.

$2$) Homomorphism: Considerar La Posibilidad De

$$\varphi_x(gh)=x^{-1}ghx=x^{-1}g(xx^{-1})hx$$

$$=(x^{-1}gx)(x^{-1}hx)=\varphi_x(g)\varphi_x(h).$$