En una normativa espacio de $X$ hay una equivalencia entre estos dos proposición?
$1)$ $X$ es reflexivo;
$2)$ $B$, la unidad de la bola de $X$, es débilmente compacto.
Respuesta
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Sí.
Una prueba de este teorema se puede encontrar en:
Mariano Fabian, Petr Habala, Petr Hajek, Vicente Montesinos Santalucia, Jan Pelant, Vaclav Zizler. El Análisis funcional y el Infinito-Dimensional de la Geometría.
Ver Teorema 3.31.
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Edit: La que se hace referencia teorema se supone que $X$ es de Banach; sin embargo, este sigue automáticamente a partir de cualquiera de las condiciones (1) y (2):
Desde $X^{**}$ es siempre completa, si $X$ es reflexiva, entonces es completa (como se observó en mat E del comentario).
Supongamos $B$ es débilmente compacto. Deje $\{x_n\}$ ser de Cauchy en $X$. Cauchy secuencias están delimitadas por un reescalado asumimos $\{x_n\} \subset B$. Por la debilidad de la compacidad, $\{x_n\}$ tiene una débil clúster punto de $x$. Fix $\epsilon > 0$ y elija $N$ tan grande que $\|x_n - x_m\| < \epsilon$$n,m \ge N$. Deje $n \ge N$. Ahora elija un arbitrario $f \in X^*$$\| f \| \le 1$. Como $x$ es un débil clúster de momento, no existe $m \ge N$$|f(x_m) - f(x)| < \epsilon$. También tenemos $|f(x_m) - f(x_n)| \le \|x_m - x_n\| < \epsilon$. Por lo tanto $|f(x_n) - f(x)| < 2 \epsilon$. Tomando el supremum $f$ y el uso de la de Hahn-Banach teorema, tenemos $\|x_n - x\| < 2 \epsilon$. Por lo tanto $x_n \to x$ en la norma, y hemos demostrado que $X$ es completa.
