¿Por qué los axiomas para un espacio topológico son esos axiomas?

Question

Puede que esta pregunta ya se haya hecho aquí antes, la verdad es que no lo sé, así que perdona si está duplicada. He empezado a estudiar los espacios topológicos y he encontrado los axiomas para dichos espacios algo difíciles de motivar. Bueno, la ideia de un espacio métrico es mucho más fácil de motivar: "el concepto de distancia depende del contexto, así que queremos una idea general de lo que es la distancia y una idea general de un conjunto en el que podamos medir distancias". Los axiomas entonces para una métrica son muy intuitivos, fáciles de motivar y todo lo demás.

A continuación, empezamos a estudiar las propiedades de los subconjuntos de los espacios métricos. Definimos bolas abiertas como una forma de precisar la noción de "conjunto de todos los puntos que están suficientemente cerca de un punto central" y definimos conjuntos abiertos para precisar "conjuntos tales que para cada punto, otros puntos suficientemente cercanos también están en el conjunto", lo que también puede pensarse como conjuntos tales que cada punto puede oscilar un poco de su posición y el punto permanecerá en el conjunto.

Después podemos definir muchas cosas: puntos límite, conjuntos cerrados, conjuntos densos, conjuntos perfectos, compacidad, etc. También vemos que todas esas nociones se pueden precisar mencionando sólo los conjuntos abiertos: la métrica no es realmente necesaria para hablar de esas cosas, en cuanto podemos definir qué son los conjuntos abiertos. Así que esto es suficiente motivación para definir una estructura en la que tengamos conjuntos abiertos.

La respuesta a este problema es definir un topología en un conjunto $X$ como un conjunto $\mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X)$ tal que $\mathcal{T}$ es cerrado bajo uniones arbitrarias, intersecciones finitas y tal que $X,\emptyset \in \mathcal{T}$ . Si, $X$ es un espacio métrico, y dejamos que $\mathcal{T}$ sea el conjunto de conjuntos abiertos tal y como se definen mediante bolas, entonces se cumplen las tres propiedades.

Mi única pregunta es: por qué esas propiedades captan completamente la idea de un conjunto abierto? Es decir, entre todas las propiedades de los conjuntos abiertos, ¿por qué seleccionamos esas tres? Siempre he oído que la topología está pensada para estudiar propiedades cualitativamente globales de las formas, así empezamos en $\mathbb{R}^n$ y la forma de generalizar a los espacios métricos: introducimos herramientas que nos permiten definir cuidadosamente algunas de estas propiedades y elaboramos definiciones. No parece clara la conexión de esta motivación para la topología y la definición real.

He visto una pregunta similar en MathOverflow, y había una respuesta que trataba de motivar esto en términos de reglas, pero realmente no entendí la idea. ¿Puede alguien dar una pequeña ayuda con esto?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

El meollo del asunto es que, aunque tu intuición es que la "continuidad" tiene que ver con las distancias, primero aprendes la continuidad en términos de $\epsilon-\delta$ resulta que la continuidad sólo se refiere a los conjuntos abiertos. Si un mapa $f:X\to Y$ entre espacios métricos es continua está totalmente determinada por los conjuntos abiertos de $X$ y $Y$ . Si tiene dos métricas diferentes para $X$ que determinan los mismos conjuntos abiertos, el conjunto de funciones continuas sobre $X$ son los mismos.

Dado que la topología es el estudio de la continuidad, tiene sentido preocuparse sólo por los conjuntos abiertos, entonces, no por la métrica.

Las definiciones originales de "topología" tenían más reglas sobre los conjuntos abiertos que hacían que las topologías fueran "más parecidas" a los espacios métricos. Pero cuando los matemáticos empezaron a jugar con estas cosas, descubrieron que también tenía sentido plantear preguntas sobre la continuidad en los casos en los que estas reglas se rompían. Así que la definición se amplió para dar el significado más amplio.

Un ejemplo muy básico podría ser la continuidad de la izquierda. Una función $f:\mathbb R\to Y$ con $Y$ un espacio métrico se llama continuo a la izquierda si $\lim_{x\to a-} f(x)=f(a)$ para todos $a\in\mathbb R$ .

Resulta que hay una topología en la línea real, llámala $\tau_{L}$ bajo la cual una función $f$ es continua a la izquierda si y sólo si es (topológicamente) continua como función de $(\mathbb R,\tau_L)\to Y$ . (Nota: $\tau_{L}$ tiene una base los intervalos de la forma $(x,y]$ .) Ahora, $\tau_{L}$ es una topología de conjunto de puntos, pero no es una que provenga de una métrica. Así, la noción de "continuidad a la izquierda" es un ejemplo de una idea que se ajusta a la definición de conjunto de puntos de la continuidad, pero no se ajusta a la $\epsilon-\delta$ noción de continuidad - esencialmente hay que redefinirla.

El hecho de que la continuidad izquierda y la continuidad derecha juntas sea lo mismo que la continuidad "normal" es una afirmación sobre las tres topologías diferentes. De alguna manera, la topología habitual de la línea real es una combinación de estas otras dos topologías.

Resulta que aquí hay algo realmente profundo. De alguna manera, las vecindades abiertas de un punto en una topología contienen mucha información -lo que llamamos "información local"- sobre el comportamiento de las funciones "agradables" en ese punto.

Answer 2

La noción de conjunto abierto puede ser mejor comprendida por "Si $x$ está en el conjunto abierto, entonces todos los puntos con $y\approx x$ debería estar también en el conjunto".

Esto hace que $\emptyset$ y el espacio $X$ automáticamente, ya sea porque no hay $x$ para comprobar o no $y$ que podría quejarse.

Y todavía sin especificar más qué $\approx$ realmente significa, se deduce inmediatamente que una unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta de nuevo.

Podríamos detenernos aquí, pero estos axiomas por sí solos aún no constituyen una buena estructura. Por lo tanto, está motivado echar un vistazo a la "otra" operación de conjunto, la intersección. Si tenemos dos conjuntos abiertos (con posibles interpretaciones diferentes de $\approx$ , digamos que $\approx_1$ y $\approx_2$ ) parece una buena característica asumir que dos puntos cualesquiera que se atestiguan de dos maneras como no demasiado diferentes no son demasiado diferentes y viceversa, es decir, que la conjunción de $\approx_1$ y $\approx_2$ debe hacer un válido $\approx$ por lo que la intersección de dos conjuntos abiertos debe considerarse abierta de nuevo. Y ya está. Un puede considerar algún refuerzo, como las intersecciones arbitrarias, pero como ya muestra el caso de los espacios métricos, la mayoría de las veces esto se reducirá a considerar el conjunto de potencias de $X$ (o posiblemente con algunos puntos identificados), así que bastante aburrido.

En retrospectiva, se da el caso de que estos axiomas nos dan muy bien prácticamente todas las propiedades agradables de los espacios métricos, además de la aplicabilidad a algunas estructuras interesantes que no permiten una métrica.

Answer 3

Estoy de acuerdo con Andreas.

Los axiomas de conjunto abierto para una topología suelen presentarse como el axiomas para una topología, pero de hecho hay un número de formas equivalentes de definir una topología, a través de vecindades, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, cierre, e incluso interior o límite. Los axiomas de vecindad son seguramente los más intuitivos para un principiante, y los más claramente relacionados con la noción habitual de continuidad en el análisis. En efecto, la definición " $f$ es continua en un punto $x$ de su dominio si para todas las vecindades $N$ de $f(x)$ hay un barrio $M$ de $x$ tal que $f(M) \subseteq N$ "es más directo y geométrico que el $\epsilon$ - $\delta$ definición, ya que estos últimos son sólo mide de los tamaños de los barrios, y por tanto un paso más allá de la imagen geométrica de un barrio. Esos números $\epsilon, \delta$ son, por supuesto, una representación computacional útil, como lo son los números.

Por supuesto, los axiomas de los conjuntos abiertos son muy elegantes y lógicamente más sencillos que los axiomas de vecindad, y en algunos casos son la mejor manera de definir una topología, por ejemplo para los espacios de identificación. Pero hay que animar a los principiantes a que hagan su propio juicio sobre las ventajas y desventajas de cada definición de una topología.

Parte de la necesidad de esta abstracción de la noción de espacio métrico fue el desarrollo de las ideas de las superficies de Riemann y, posteriormente, de la noción de colector. El trabajo de Hausdorff fue clave en este desarrollo.

Enero, 2017 Recomiendo aquí la Introducción a la obra de Peter Freyd Categorías abelianas parte de la cual dice: "Si se definiera la topología como el estudio de las familias de conjuntos cerrados bajo intersección finita y uniones infinitas se estaría haciendo un grave perjuicio a los estudiantes embrionarios de topología...... Una descripción mejor (aunque no perfecta) de la topología es que es el estudio de los mapas continuos;..."

Esto me recuerda a un cita de Einstein : "Los conceptos que han resultado útiles para ordenar las cosas asumen fácilmente una autoridad tan grande sobre nosotros, que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables. $\ldots$ Por lo tanto, no se trata de un mero juego para ejercitar nuestra capacidad de análisis de conceptos conocidos, y demostrar las condiciones de las que dependen su justificación y utilidad, y la forma en que éstas se desarrollaron, poco a poco $\ldots$ " Las dificultades de la topología algebraica con la noción de espacio topológico "desnudo", es decir, sin estructura adicional, se discuten en este documento .

Answer 4

Creo que los axiomas habituales de la topología se desarrollaron en varios pasos. En primer lugar, se trabajó con espacios euclidianos y sus subespacios, y las nociones topológicas más importantes, como la convergencia y la continuidad, se desarrollaron en este contexto. Cuando se hace esto, no se puede evitar notar que sólo se necesita la noción de distancia, no el resto de la estructura euclidiana. Además, hay otros tipos de "espacios" con nociones razonables de distancia, que conducen, al igual que en el espacio euclidiano, a nociones razonables y útiles de convergencia y continuidad. En particular, se tienen las nociones de convergencia uniforme de funciones y (creo que algo más tarde) $L_1$ y $L_2$ convergencia. Así que la gente abstrajo las propiedades relevantes de la distancia y así definió los espacios métricos. Pero hay algunas nociones de convergencia bastante razonables que no encajan en el contexto de los espacios métricos. Quizá la más importante sea la convergencia puntual de las funciones (en conjuntos incontables como los reales). En otras situaciones, es posible definir una métrica, pero la métrica tiende a parecer incómoda en comparación con las nociones de convergencia y continuidad que soporta. Estoy pensando en cosas como la convergencia uniforme en conjuntos compactos (por ejemplo, para funciones $\mathbb C\to\mathbb C$ ), o la convergencia de funciones (en el espacio euclidiano, por ejemplo) junto con sus derivadas de todos los órdenes. Estas situaciones conducen naturalmente a la pregunta de si realmente se necesita una métrica o si la convergencia y la continuidad tienen sentido en un contexto más amplio (y quizás más simple). La observación clave aquí es que, cuando uno define la convergencia y la continuidad utilizando una métrica, el papel de la métrica es sólo para producir una noción de vecindad. Una vez que se sabe lo que se entiende por vecindad de un punto, se puede proceder sin más referencia a la métrica. Y las vecindades en los espacios métricos tienen propiedades especiales que nunca son realmente necesarias para fines topológicos. Por ejemplo, cada punto tiene una secuencia anidada de vecindades, las bolas de radio $1/n$ centrado en el punto, de tal manera que cada vecindad del punto incluye uno de ellos. Resulta que uno no necesita realmente ni la anidación ni la contabilidad de esta secuencia. Así que se puede (y gente como Hausdorff y Fréchet lo hicieron) axiomatizar lo que realmente se necesita sobre las vecindades. Eso produjo esencialmente la noción moderna de espacio topológico (quizás con un poco de información adicional que uno podría considerar como "realmente necesaria", como el axioma de separación de Hausdorff). El paso de esta axiomatización de "vecindad" a la axiomatización de "conjunto abierto", actualmente estándar, está motivado, en mi opinión, sólo por el deseo de hacer que los axiomas parezcan lo más simples posible. Yo pensaría que los sistemas de vecindades son la "verdadera" intuición que subyace a la noción de espacio topológico, mientras que los conjuntos abiertos proporcionan una forma conveniente de describir y trabajar con las vecindades.