Poincaré Lema Contráctiles Hipótesis

Question

Poincaré del Lema menudo se afirma como decir que un cerrado de forma diferenciada en una estrella en forma de dominio es exacta. De manera más general, es cierto que es un cerrado de forma diferenciada en un contráctiles de dominio es exacta.

Lo que me pregunto es si hay un ejemplo sencillo de un cerrado de forma diferenciada en un simplemente conectado dominio que no es exacto.

Answer 1

Deje $U=\mathbb R^n\setminus \lbrace0 \rbrace\subset \mathbb R^n$, simplemente se conecta el dominio de $n\geq3$, que podemos asumir a partir de ahora.

El $(n-1)$ formulario $\omega \in \Omega^{n-1}(U)$ definido por

$$\omega (x)=\frac {1}{\mid \mid x\mid \mid^n} \sum _{i=1} ^n (-1)^{i-1}x_idx^1\wedge...\wedge \widehat{dx^i} \wedge dx_n$$ for $x\in \mathbb R^n\setminus \lbrace0 \rbrace)$ es cerrado, pero no es exacto. Así pues, es un ejemplo de lo que usted desea.
Más precisamente, su cohomology de la clase $[\omega ]$ genera el unidimensional $(n-1)$-ésimo De Rham cohomology espacio vectorial de $U$, es decir, $H^{n-1}_{DR}(U)=\mathbb R\cdot[\omega ]$

NB
a) Este formulario también puede ser visto como el pull-back $\omega =r^*(vol)$ de la canónica forma de volumen $vol\in \Omega ^{n-1}(S^{n-1})$ de la unidad esfera bajo el mapa de $$r:U\to S^{n-1}:x\mapsto \frac {x}{\mid \mid x\mid \mid}$$
b) A ser bastante explícito, el valor de la alternancia forma $\omega (x)$ $(n-1)$- tupla de vectores $v_1,...,v_{n-1}\in T_x(U)=\mathbb R^n$ $$\omega (x)(v_1,...,v_{n-1})=\frac {1}{\mid \mid x\mid \mid^n}\cdot det[x\mid v_1\mid ...\mid v_{n-1}]$$
donde, por supuesto $x, v_1, ...,v_{n-1}$ son vistos como vectores columna de tamaño de $n$.

Answer 2

La inversa del cuadrado de campo vectorial $\vec{r}/|\vec{r}|^3$ da lugar a su flujo de 2-formulario de $$\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}$$ in $R^3$, menos el origen, que es simplemente conectado. Este es cerrado, ya que el campo es el gradiente de la función armónica $1/|\vec{r}|$. No es exacta debido a que su integral sobre la 2-esfera no es cero.

Answer 3

Porque ejemplos concretos se han dado ya, voy a hacer algunas declaraciones generales.

Voy a suponer (sin pruebas) de que un $n$ dimensiones del colector $M$ es orientable si y sólo si hay un nonvanishing $n$ formulario $M$.

Deje $M$ ser un equipo compacto, orientable, $n$ dimensiones del colector sin límite. Entonces, se trata de una simple aplicación de Stokes teorema para demostrar que la nonvanishing está cerrado, pero no exacto. Para responder a su pregunta, sólo tenemos que encontrar una simplemente se conecta el colector con estas propiedades, por ejemplo, $S^n$$n \geq 2$.

Para una aún más general del teorema (que es mucho más difícil de probar), si $M$ está conectado a un $n$ dimensiones del colector, $H^n_{de}(M) = 0$ si $M$ es no orientable o no compacta y $H^n_{de}(M) = \mathbb{R}$ lo contrario (si es orientable y compacto.)