La numeración de gödel se asigna un número a cada fórmula. A mí me parece que cualquier codificación va a hacer. Sin embargo, también es evidente, aunque no estoy seguro de cómo, de que ciertas propiedades de la codificación que se utiliza en la numeración de Gödel son importantes para los fines de la prueba del teorema de la incompletitud.
¿Cuáles son esas propiedades? Van a hacer con la efectividad de alguna manera?
Tomar alguna versión de la original de Gödel esquema de $g\colon E \to \mathbb{N}$ para el mapeo de las expresiones de los números, y algunos esquema alternativo $f\colon E \to \mathbb{N}$. A continuación, el requisito natural para $f$ a ser un "aceptable" esquema alternativo es que hay un par de primitivas recursivas "traducción" de las funciones $t$, $t'$ para la obtención de los números de código bajo un esquema de números de código debajo de la otra. Es decir, tenemos $g(e) = t(f(e))$ $f(e) = t'(g(e))$ para cualquier expresión de $e$. [Podemos conseguir a partir de una codificación a otra por un cálculo que no se trata de composición abierta de las búsquedas.]
Si esto se mantiene, entonces todos los arithmetization de sintaxis mediante un Gödelian esquema de $g$ va a ir a arithmetization de la sintaxis de esquema alternativo $f$ la preservación de la recursividad primitiva. En otras palabras, si, por ejemplo, la propiedad de la numeración de-un-wff es primitiva recursiva bajo un esquema de numeración será primitiva recursiva debajo de la otra. Y, a continuación, todos los habituales de las construcciones y de las pruebas se puede hacer con el nuevo esquema (tal vez con la mayor elegancia o más torpemente, dependiendo de los detalles) como se hizo con el esquema original.
[Fina de impresión. Después de Gödel del documento original se dio cuenta rápidamente de que por lo general es suficiente para la arithmetized sintáctica de las propiedades a ser recursivo en virtud de codificación (como opuesto a la primitiva recursiva), ya que casi cualquier teoría que puede representar a todos los primitivos recursivos funciones se pueden representar las funciones recursivas. Así que, de hecho, es generalmente suficiente para que un nuevo esquema de codificación es traducible de forma recursiva en el original de Gödel esquema para todo lo que sigue, para ir a través de. Pero, que yo sepa, cualquier esquema de codificación para una clase ordinaria de la teoría de que son propensos a soñar sin positivamente tratando de ser perversa será primitivamente de forma recursiva relacionados con Gödel del esquema original: ¿por qué en la tierra que construir una necesidad ilimitada de búsquedas en un esquema de codificación?]
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