todo el 1-1 de la función

Question

Podemos probar que dado un entero de la función $f$ es también uno a uno, entonces $f$ debe ser lineal?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Puede descartar la posibilidad de polinomios de grado mayor que $1$, ya que la derivada de un polinomio tienen un cero por el teorema fundamental del álgebra, y un holomorphic función $(n+1)$a$1$ cerca de un cero de su derivada de orden $n$.

Para terminar, es necesario descartar la totalidad de funciones que no son polinomios. Si $f$ es una función, entonces $f(1/z)$ tiene una singularidad esencial en a $z=0$. Para ver que esto implica que $f$ no es uno-a-uno, usted podría solicitar del teorema de Picard como yoyo indica. O usted podría proceder de la siguiente manera. Por Casorati-Weierstrass, $f(\{z:|z|>n\})$ es denso en $\mathbb{C}$ para cada entero positivo de $n$. Por la asignación abierta teorema, el conjunto es abierto. Por Baire teorema de, $D=\bigcap_n f(\{z:|z|>n\})$ es denso en $\mathbb{C}$. En particular, $D$ es no vacío, y cada elemento de $D$ ha infinitamente muchos preimagen puntos por debajo de $f$.

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Me acabo de dar cuenta que hay una forma más fácil de aplicar Casorati-Weierstrass, sin necesidad de Baire. Si $f$ es todo y no es un polinomio, entonces $f(\{z:|z|<1\})$ es abierto, y $f(\{z:|z|>1\})$ es densa. Por lo tanto, estos conjuntos tienen intersección no vacía. Cada elemento de la intersección tiene menos de us $2$ preimagen puntos.

Answer 2

Por cambio de $z$, sin pérdida de generalidad se puede suponer $f(z) = 0$. Por la asignación abierta teorema de la, $f(z)$ mapas algún conjunto abierto $U$ con $0$ a otra, llamada $V$. Dado que $f(z)$ es ser uno-a-uno, $f(z)$ no se puede asignar cualquier $z$ fuera $$ U $V$. Mus ${1 \over f(z)}$ es limitada fuera de $U$. Por lo tanto ${z \más de f(z)}$ es una función que crece no más rápido de forma lineal: $|{z \más de f(z)}| < |z| + B$ $A$ y $B$.

Es fácil desde aquí para demostrar que $g(z) = {z \más de f(z)}$ es lineal; para cualquier $z_0$ ${g(z) - g(z_0) \sobre z - z_0}$ debe estar acotada y por lo tanto es una constante por el teorema de Liouville. Por lo que ${z \más de f(z)} = c_1z + c_2$ $c_1$ y $c_2$. Por lo tanto $f(z) = {z\sobre c_1z + c_2}$. Dado que $f(z)$ no tiene polos y es no constante, $c_1$ debe ser cero y $c_2$ distinto de cero. Llegamos a la conclusión de que $f(z) = {1 \over c_2} z$.

Answer 3

Vamos $f:\mathbb C\to\mathbb C$ todo e inyectiva. Vamos a $U=f(\mathbb C)$. $U$ es un subconjunto abierto del plano.

$U$ es simplemente conectado: en efecto, para comprobar que esto es suficiente para demostrar que la integral de cada analítica de la función en $U$ a lo largo de cualquier curva cerrada en $U$ es cero, y usted puede hacer esto por "el cambio de variables usando $f$".

A continuación, si $U\subsetneq\mathbb C$, a partir del teorema de Riemann sabemos que hay un biholomorphic mapa de $U\a D$, con $D$ la unidad de disco. Componiendo con $f$, obtenemos un biholomorphic mapa de $\mathbb C\D$, y esto es imposible. A continuación, vemos que $f$ es, de hecho, bijective y, de hecho, un homeomorphism. Componiendo con una traducción, podemos suponer que $f(0)=0$.

El uso de este, se puede ver que la función $1/f(z)$ es limitada en $\infty$ y tiene un simple poste de $0 a$, entonces $g(z)=z/f(z)$ es todo y limitada por una función de la forma $cz$ constantes $c$. El uso de Cauchy de las estimaciones de los coeficientes de Taylor de $g$, vemos que $g$ es un polinomio de muy bajo grado. La traducción de este a la información acerca de $f$, podemos concluir lo que queremos.

(Esto evita Picard pero los usos de Riemann... :( )

Answer 4

Aquí está una (o más) prueba utilizando muy poco de análisis complejo. Suponga que $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ es holomorphic y inyectiva. La función $f$ se extiende a un holomorphic mapa de la esfera de Riemann a sí mismo, $\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1$. De hecho, elegir cualquier $z_0$ tal que $f'(z_0)\neq 0$ (si no existe, entonces $f$ es constante (por supuesto, de inyectividad sabemos que en realidad $f'\neq0$ en todas partes)). A continuación, un pequeño barrio de $U\ni z_0$ se asigna bijectively a un pequeño barrio $V\ni f(z_0)$. La función $1/(f(z)-f(z_0))$ es, por tanto, limitado en $\mathbb{C}-U$, por lo tanto, por Riemann extraíble teorema de la singularidad que se extiende a un holomorphic función en $\mathbb{CP}^1-U$ por lo tanto $f$ se extiende a un holomorphic mapa de $\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1$.

Como una aplicación del teorema de Liouville, cualquier holomorphic mapa de $F:\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1$ tal que $F(z)\neq\infty$ para $z\neq\infty$ es un polinomio. Si queremos, también podemos evitar Liuoville teorema y el uso de algunas de topología. Si el orden de los polos de $f$ en $\infty$ $>1$ entonces $f$ no es inyectiva en el barrio de $\infty$. Por lo tanto, no es $a\in\mathbb{C}$ tal que $f-az$ es holomorphic $\mathbb{CP}^1\to\mathbb{C}$, por lo tanto es limitada (por ser un mapa de un espacio compacto), por lo tanto es una constante: si $f-az$ no es constante, entonces es un mapa de $\mathbb{CP}^1\to\mathbb{CP}^1$, que es de grado positivo, pero que no es surjective (ya que evita los $\infty$).