Ecuaciones diferenciales solveable de forma independiente del sistema de coordenadas?

Question

Mirando desde un punto de vista de la física Odas tienden a tener un aspecto muy diferente al establecer el problema en diferentes sistemas de coordenadas. Por ejemplo, el Laplaciano en coordenadas esféricas implica mucho más que el Laplaciano en coordenadas cartesianas.

Mediante el uso de un determinado sistema de coordenadas, podemos aprovechar las simetrías de nuestro problema, lo que hace que la educación a distancia más fácil. Sin embargo, me preguntaba si se podía resolver analíticamente una ODA en cada sistema de coordenadas, si es analíticamente solucionable en un sistema de coordenadas? O en otras palabras: ¿Puede una ODA ser analíticamente soluble en uno, pero no se pueden resolver analíticamente en otro sistema de coordenadas?

Gracias de antemano

Answer 1

Tal vez mi casual comprensión de la teoría de la Mentira puede prestar un poco de perspectiva aquí. La pregunta que plantean "un operador diferencial, bajo qué condiciones es la característica de tener soluciones analíticas de invariantes?" (que creo que es una muy buena pregunta para hacerle a) puede ser pensado en tándem con la cuestión de la antigüedad "Dado un polinomio, bajo qué condiciones son las raíces que se puede expresar en términos de arithmatic operaciones en la base de campo de los racionales?".

La segunda pregunta y su análogo en ecuaciones diferenciales "Dado un operador diferencial, bajo qué condiciones son las soluciones de (su núcleo) que se puede expresar en términos de arithmatic combinaciones de la base de campo de fracciones de funciones analíticas?", tener respuestas en Galois y la Mentira de la teoría, respectivamente. La primera pregunta tiene una muy completa y satisfactoria respuesta. La segunda tiene respuestas parciales.

Para un polinomio dado, la pregunta de si se ha de soluciones del tipo especificado anteriormente es invariantly positivo o negativo bajo el anillo de automorfismos, que puede ser pensado como transformaciones de coordenadas del polinomio anillo. Mi casual comprensión de la teoría de la Mentira me llevaría a creer que no es un concepto bajo el cual las transformaciones entre sistemas de coordenadas distintos de funciones analíticas que puede ser entendido en términos de automorfismos en el contexto adecuado, y que la pregunta que se plantean tendría el mismo resultado que su análogo resultado para polinomios -- a saber lo que sería de esperar que sí, una forma cerrada en una analítica del sistema de coordenadas significa una forma cerrada en otro.

Answer 2

Advertencias: nunca había oído el acrónimo DGL, y parece ser que hay un par de posibles interpretaciones. Supongo que te refieres a algún tipo de (probablemente diferencial) ecuación definida por un operador que actúa sobre (escalares) las funciones lisas, con "suave", que significa "infinitamente diferenciable" (o "clase $\mathscr{C}^\infty$") para la simplicidad.

Si entiendo que el contexto y el espíritu de la pregunta, la analítica de solvencia es independiente de las coordenadas, gracias a la definición de "expresar un operador en un nuevo sistema de coordenadas".

En matemáticas y lenguaje, vamos a $U$ $V$ ser abierto pone en $\mathbf{R}^n$, e $\varphi:U \to V$ un diffeomorphism. Si $f$ es una función suave en $V$, $F = f\circ \varphi$ es una función suave en $U$. (Esta notación es utilizada sistemáticamente por debajo.)

En la física-y el lenguaje, las coordenadas en la $U$ son los nuevos (!) variables, las coordenadas en la $V$ son variables originales, y $\varphi$ es un cambio de coordenadas. Precomposición con $\varphi$ "transferencias" de las funciones de $V$ $U$o "$F$ $f$ en el nuevo sistema de coordenadas".

Por ejemplo, podemos tener a $U = (0, \infty) \times (-\pi, \pi)$ ($(r, \theta)$- plano), $V = \mathbf{R}^2 \setminus (-\infty, 0]$, e $\varphi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (x, y)$ las coordenadas polares de asignación. Si (decir) $f(x, y) = x^2 + y^2$, $F(r,\theta) = (f\circ\varphi)(r, \theta) = r^2$ "$f$ en coordenadas polares".

Si $T:\mathscr{C}^\infty(V)\to\mathscr{C}^\infty(V)$ es un operador, definir la inducida por el operador $\varphi^*T:\mathscr{C}^\infty(U)\to\mathscr{C}^\infty(U)$ por $$ (\varphi^*T)(F) = \bigl(T(F\circ\varphi^{-1})\bigr)\circ\varphi. $$ En palabras para expresar $F$ en las coordenadas originales ($f = F\circ\varphi^{-1}$ es una función suave en $V$), se aplican $T$ (para obtener una función suave $Tf$$V$), y expresa la función $Tf$ en el nuevo sistema de coordenadas (precomponer con $\varphi$).

Supongamos que la ecuación de $Tf = 0$ puede ser resuelto analíticamente ("en el original sistema de coordenadas"). Un poco de mapa de persecución de muestra que $F = f\circ\varphi$ es una solución de $(\varphi^*T)(F) = 0$ ("en el nuevo sistema de coordenadas"). En efecto, desde el $f = F\circ\varphi^{-1}$, tenemos $$ (\varphi^*T)(F) = (Tf)\circ\varphi = 0\circ\varphi = 0. $$

De nuevo, el corazón de este argumento es la definición de $\varphi^*T$, lo que provoca "la aplicación de la $T$" se entrelazan con "cambio de coordenadas".

Answer 3

Integral de soluciones de ecuaciones diferenciales, no cuentan como coordinar soluciones libres?
Un montón de ejemplos de estos se encuentran en, por ejemplo, la Dinámica de Fluidos. Aquí está una foto de un viejo libro de texto, como una ilustración de cómo funciona.

En primer lugar, defina un cerrado control de volumen como se indica en la imagen (línea de puntos). Los supuestos son: fluido incompresible, uniforme distribución de la velocidad sobre$A_1$$A_2$, la fricción a lo largo de $A_3$ insignificante.
Cantidades conocidas: la presión de $p_1$, áreas $A_1$, $A_2$, la velocidad de $V_1$. A continuación, $V_2$ sigue a partir de la integración de la continuidad (diferencial parcial) de ecuación en el volumen de control, dando a: $$V_2 A_2 = V_1 A_1$$ Encontrar a continuación $(p_2 - p_1)$ a partir de la integración de la velocidad (diferencial parcial) de la ecuación en $x$-dirección, si está escrita en el libro: $$ \iint_A \rho u (\vec{v}\cdot\vec{n}) df = - \iint_A p \cos(n,x) df $$ Dar: $$ - \rho V_1^2 A_1 + \rho V_2^2 A_2 = p_1 A_2 - p_2 A_2 $$ Combinando esto con la ecuación de continuidad da el desconocido presión de $p_2$ como: $$ p_2 = p_1 + \rho V_2 (V_1 - V_2) $$ Hay un montón de ejemplos, así como con la integral (en lugar del diferencial) formulaciones de Electromagnetismo.