Es posible usar el imaginario de los componentes de cuaterniones para facilitar el cálculo de los vectores de la cruz de productos?

Question

Ha llegado a mi atención que los productos cruzados de los vectores $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, y $\mathbf{k}$ son casi idénticos a los productos de la imaginación de los componentes de cuaterniones $i$, $j$, y $k$. Si se ignora la verdadera porción de cuaterniones, podría uno encontrar productos cruzados de la representación de los vectores como cuaterniones?

Otra pregunta: ¿sería posible el uso de cuaterniones para encontrar los productos cruzados de las coordenadas Cartesianas de los vectores en $(x, y, z, t)$? Si es así, podría ser utilizado como una representación de las entidades físicas, tales como el espacio-tiempo?

Answer 1

Sí: en vista de la escritura de $3$-vectores en el espacio $a=(a_1,a_2,a_3)$ $b=(b_1,b_2,b_3)$ puro cuaterniones $a'=a_1i+a_2j+a_3k$$b'=b_1i+b_2j+b_3k$, entonces el puro de cuaterniones parte de $a'b'$ es la pura cuaterniones representando $a\times b$.

Usando cuaterniones realmente no guardar cualquier complejidad, sin embargo, desde el quaternion multiplicación calcula estos componentes además de un extra de la parte real.

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De hecho, los cuaterniones $i,j,k$ abarcan un subespacio de $\Bbb H$ (el puro cuaterniones) que puede ser naturalmente interpretado como $3$-vectores en el espacio. Incluso hay una forma para realizar rotaciones y reflexiones en este espacio usando cuaterniones mulitplication. Que es probablemente la más valiosa de la aplicación de cuaterniones a $3$-espacio.

También hay formas de relacionar los cuaterniones para Minkowski $4$-espacio, pero al parecer no es la ideal para la tarea. Aquellos que se aplican a un álgebra de Clifford en física tienen algún tipo de mejor esquema funcionó, al parecer.

Answer 2

No, esto no es posible. Hay una superficial simmilarity pero también hay una gran diferencia: mientras que la ${\bf i} \times {\bf i} = 0$, $i \cdot i = -1$. En otras palabras, el imaginario cuaterniones no está cerrado bajo la multiplicación y, por tanto, no forman una estructura algebraica.

Sin embargo, hay una relación con el vector de productos, aunque de manera un poco más profunda. La unidad de cuaterniones $a + ib + jc + kd$ tal que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 0$ con la multiplicación son isomorfos a una Mentira grupo sabe como $SU(2)$. Este grupo tiene como una Mentira álgebra el álgebra de traceless skew-hermitian matrices ${\frak su}(2)$ con la operación de conmutador que como cuestión de hecho, es isomorfo a $\mathbb R^3$ con el vector producto como su operación.

Con respecto a la otra pregunta de $(x,y,z,t)$, la respuesta es de nuevo no. El vector de estructura de producto sólo está disponible en tres dimensiones y es porque fundamentalmente se trata de un conmutador de operación en skew-matrices simétricas (esto le da isomorfismo con otra Mentira álgebra, esta vez ${\frak so}(3)$) y la dimensión de esta álgebra coincide con la dimensión del espacio sólo para $d=3$.