Ejemplo de un anillo perfecto conmutativo que no es artiniano

Question

Leí un resultado aquí que afirma que un anillo perfecto conmutativo es artiniano si y solo si es $(1,1)$-coherente (ver Proposición 5.3). Estoy interesado en encontrar un ejemplo de un anillo perfecto conmutativo que no sea artiniano.

Answer 1

Creo que dichos anillos se construyen fácilmente usando subanillos de anillos triangulares. Aquí está mi intento:

$R=\left\{ \begin{pmatrix} a &b\\ 0 & a \end{pmatrix} \ : \ a \in \mathbb{Q}, \ b \in \mathbb{R}\right\}$

Es fácil confirmar que este anillo es conmutativo. Observando que el subconjunto de $R$ con ceros en la diagonal (llamémoslo $J$) es un ideal nilpotente, y que $R/J\cong \mathbb{Q}$, puedes ver que $J=rad(R)$.

Dado que $R/rad(R)$ es Artiniano con radical nilpotente, es un anillo semiprimo y, por lo tanto, un anillo perfecto. Elije una cadena infinita estrictamente ascendente o descendente de submódulos de $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{R}$ y indexarlos como $M_i$. Comprueba que los conjuntos $K_i=\left\{ \begin{pmatrix} 0 &b\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ : \ b \in M_i\right\}$ forman una cadena infinita de ideales derechos.

Si no hay problema con mi construcción, puedes elegir cualquier campo para reemplazar $\mathbb Q$ y cualquier espacio vectorial de dimensión infinita $B$ sobre tu campo para reemplazar a $\mathbb{R}$.

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(Respuesta adicional en los comentarios a continuación)

Dado que el anillo en la construcción anterior no es Noetheriano, me surge la siguiente pregunta: ¿Existe algún anillo conmutativo perfecto no Noetheriano con identidad que no sea Artiniano? – Joy-Joy Jun 7 '13 a las 2:12

No hay un ejemplo no Noetheriano. El radical de un anillo perfecto a la derecha es nulo, y con Noetheriano eso implica que el radical es un ideal nilpotente. Entonces, entra en acción el teorema de Hopkins-Levitzki y dice que el anillo también es Artiniano. En resumen, si $R/J(R)$ es Artiniano y $J(R)$ es nulo, entonces $R$ es Artiniano si y solo si es Noetheriano.

Answer 2

Cualquier anillo semiprimario es perfecto, por lo que un anillo semiprimario conmutativo debe ser un producto de anillos locales, cada uno de los cuales es semiprimario. Por ejemplo, sea $F$ un campo y $V$ un espacio vectorial de dimensión infinita sobre $F$. Luego, definimos $\left\=F\oplus V$ y $\left(a,v\right)\cdot\left(a',v'\right)=\left(aa',av'+a'v\right)$. Si deseas un índice de nilpotencia más alto, puedes ver un ejemplo de Camillo, Herzog y Nielsen en J. Álgebra 314 (2007) #1, pp 471-478 que muestra el ejemplo $\left = F\oplus V\oplus F$ con el radical $J\left(R'\right)=V\oplus F$ y para $\beta\left(v,v'\right)$ una forma bilineal simétrica no degenerada de $V$ a $F$, definimos para $v$, $v'\in V$ y $a$, $a'\in F$, $\left(v,a\right) \cdot \left(v',a'\right) = \left(0,\beta\left(v,v'\right)\right)$ como la multiplicación en $J(R')$ y $\left(1,0,0\right)$ actúa como la identidad de $R'$. Este incluso es esencial sobre un socle simple pero claramente no es quasiFrobenius porque $V$ es de dimensión infinita, por lo que $R'$ no es noetheriano.