Lema 1. Deje $G$ ser un grupo, $H$ ser un subgrupo normal, $\pi : G\to G/H$ canónica de morfismos, $R$ ser un anillo conmutativo con unidad, y $\varphi : R[G] \to R[G/H]$ el inducido de morfismos de (tal vez no conmutativa) anillos inducida por $\pi$. El $\varphi$ es surjective y $$\operatorname{Ker}(\varphi)=\operatorname{Aug}(R[H])R[G] = R[G] \operatorname{Aug}(R[H]).$$
Aquí, $\operatorname{Aug}(R[K])$ denota el aumento de ideales de un anillo de grupo $R[K]$.
La prueba del lema 1. El surjectivity de $\varphi$ es obvia, debido a la definición de $\varphi$ y el surjectivity de $\pi$. La segunda igualdad es obvio como $H$ es un subgrupo normal de $G$. Mostramos ahora la primera igualdad. Escribir $H = \{h_i\}$ diferentes $h_i$'s, y deje $K = \{k_j\}$ (con distintos $k_j$'s), un conjunto de coset representantes de $G/H$. Set $g_{i,j} := h_i k_j$. Obviamente $G = \{g_{i,j}\}$. Ahora tome un $\zeta\in\operatorname{Ker}(\varphi)$ y escribir, por lo que acabamos de decir, $\zeta = \sum r_{i,j} g_{i,j}$$r_{i,j} \in R$. A continuación, $\sum_j \left(\sum_i r_{i,j}\right)k_j H = \varphi(\zeta) = 0$ y la comparación de los coeficientes de muestra que $\sum_i r_{i,j} = 0$ todos los $j$. Por lo tanto,$\zeta = \sum r_{i,j} g_{i,j} = \sum_j \left(\sum_i r_{i,j}\right)k_j$$\operatorname{Aug}(R[H])R[G]$. El reverso de la inclusión es obvia, ya que remarcar que si $\sum_i r_i h_i \in\operatorname{Aug}(R[H])$ a continuación, se asigna a $0$ por $\varphi$. $\square$
Lema 2. Si $\varphi : R\to S$ es un surjective de morfismos de anillos, y si $A\subseteq R$$\varphi[(A)] \subseteq (\varphi(A))$. Aquí, $(A)$ denota el ideal de la $R$ generado por $A$.
La prueba del lema 2. Obvio. $\square$
Lema 3. Deje $R$ ser un anillo, $I,J$ ser aditivo subgrupos de $R$, y supongamos $I$ a ser central, es decir, incluye en $R$'s del centro. A continuación,$IJ=JI$$(IJ)^n = I^n J^n$.
La prueba del lema 3. Obvio. $\square$
Teorema. Deje $p$ ser un primer número y $G$ ser finito $p$-grupo. Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad de forma tal que $p \cdot 1_R = 0_R$. El aumento ideal del anillo de grupo $R[G]$ es nilpotent.
Prueba del teorema. Como $G$ $p$- grupo tenemos $|G| = p^n$ algunos $n\in\mathbf{N}$. Procedemos por inducción sobre $n$.
El caso de $n=0$ es obvia. Vamos a comprobar en caso de $n=1$. A continuación, $G$ es cíclico de orden $p$, digamos generados por algunas de las $x$, y por lo tanto $R[G]$ es conmutativa de la característica $p$, y se puede ver que $\operatorname{Aug}(R[G])$ es generado por $x-1$. Como $(x-1)^p = x^p - 1^p = x^p - 1 = 1 - 1 = 0$, podemos ver que $\operatorname{Aug}(R[G])$ es nilpotent de hecho. Ahora procedemos a el paso inductivo. Supongamos que para $n\geq 1$, para todos los grupos de $H$ orden $p^n$, el aumento ideal de $R[H]$ es nilpotent de exponente $\leq p^n$, y deje $G$ $p$- grupo de orden $p^{n+1}$. Desde $G$ es no trivial $p$-grupo, tiene un no-trivial de centro $Z$ (classic resultado en $p$-grupos...). Por Cauchy teorema podemos encontrar una $x\in Z$ orden $p$. Deje $H$ ser el subgrupo de $G$ generado por $x$. Como $x\in Z$ el subgrupo $H$ es normal. Como en el lema 1 deje $\varphi : R[G] \to R[G/H]$ ser el anillo de morfismos inducida por el mapa de proyección $\pi : G\to G/H$. Ahora, como el aumento de ideales de un anillo de grupo es generado por el $g-1$'s y como $\pi$ es surjective, tenemos $\varphi\left(\operatorname{Aug}\left(R[G]\right)\right) = \operatorname{Aug}\left(R[G/H]\right)$. Por la hipótesis de inducción el ideal $\operatorname{Aug}\left(R[G/H]\right)$ es nilpotent de exponente $\leq p^n$, por lo que su $p^n$-ésima potencia es cero, por lo que el $\varphi\left(\operatorname{Aug}\left(R[G]\right)\right)^{p^n} = 0$. Como $\varphi$ es un anillo de morfismos, esto conlleva $\varphi\left(\operatorname{Aug}\left(R[G]\right)^{p^n}\right) = 0$, $\operatorname{Aug}\left(R[G]\right)^{p^n}\subseteq \operatorname{Ker}(\varphi)$. Pero el ideal de $\operatorname{Ker}(\varphi)$$\operatorname{Aug}(R[H]) R[G]$, e $\operatorname{Aug}(R[H])$ es central. Por el caso base y por el Lema 3, por lo tanto tenemos a $\left(\operatorname{Ker}(\varphi)\right)^p = \left(\operatorname{Aug}(R[H])\right)^p \left( R[G]\right)^p = 0 \left(R[G]\right)^p =0$. Nos encontramos, finalmente, que $\operatorname{Aug}\left(R[G]\right)^{p^{n+1}} = 0$. $\square$
