La relatividad general y la distinción microscópica/macroscópica

Question

Aquí está La Wikipedia diagrama del tensor de tensión-energía en relatividad general:

Observo que todos sus elementos son lo que se llamaría cantidades "macroscópicas" en la termodinámica. Es decir, en la mecánica estadística normalmente definiríamos estas cantidades en términos de un conjunto de sistemas, más que en términos del estado microscópico de un solo sistema. (Esto no hace mucha diferencia para los grandes sistemas, pero para los pequeños sí.) Esta observación me lleva a una serie de preguntas. Espero que esté bien publicarlas todas como una sola pregunta, ya que están tan estrechamente relacionadas:

• ¿Estoy en lo cierto al inferir que la relatividad general es en realidad una teoría macroscópica, o fenomenológica, en lugar de una teoría sobre el nivel microscópico?
• ¿Fue Einstein explícito sobre esto al derivarlo? ¿O simplemente comenzó asumiendo que la materia puede ser modelada como un fluido continuamente subdivisible y lo tomó desde allí?
• Si la relatividad general es una teoría macroscópica, ¿cómo es la imagen microscópica? (Esperaría que esto sea realmente desconocido, de ahí todo el entusiasmo por la holografía y demás, pero quizás estoy siendo ingenuo al pensar eso.)
• ¿Hay casos en los que esta aproximación continua de fluidos se rompe? Por ejemplo, ¿qué pasa si hay dos fluidos que interactúan débilmente con diferentes presiones?
• Si la relatividad general es una teoría macroscópica, ¿implica que el espacio y el tiempo en sí mismos son conceptos macroscópicos?
• ¿Está esto relacionado con todo el debate de "¿es la gravedad una fuerza entrópica?" de hace unos años?

Answer 1

El usuario8268 ya señaló cómo terminar su prueba para $ \leftarrow $ . Para $ \rightarrow $ también, tus ideas van en la dirección correcta.

Como has demostrado, si $f$ satisface la ecuación, es una función de clase; y como te diste cuenta, $f$ puede ser escrita como una combinación lineal de caracteres irreductibles. Así que dejemos

$$f(x)= \sum_ic_i\chi_i (x)\;,$$

donde la suma pasa por encima de todos los personajes irreductibles y el $c_i$ son constantes complejas; y dejemos $ \rho_i (x)$ ser representaciones irreductibles con personajes $ \chi_i (x)$ . Luego

$$ \begin {eqnarray} \sum_ {z \in G}f(yzxz^{-1}) &=& \sum_ {z \in G} \sum_ic_i\chi_i (yzxz^{-1}) \\ &=& \sum_ {z \in G} \sum_ic_i\mathrm {Tr} \rho_i (yzxz^{-1}) \\ &=& \sum_ {z \in G} \sum_ic_i\mathrm {Tr} \left ( \rho_i (y) \rho_i (zxz^{-1}) \right ) \\ &=& \sum_ic_i\mathrm {Tr} \left ( \rho_i (y) \sum_ {z \in G} \rho_i (zxz^{-1}) \right )\;. \end {eqnarray} $$

Ahora, de nuevo, por el lema de Schur $ \sum_ {z \in G} \rho_i (zxz^{-1})$ es un múltiplo de la identidad, ya que se desplaza con todos $ \rho_i (g)$ :

$$ \sum_ {z \in G} \rho_i (zxz^{-1}) \rho_i (g)= \sum_ {z \in G} \rho_i (zxz^{-1}g)= \sum_ {z \in G} \rho_i (gzxz^{-1})= \rho_i (g) \sum_ {z \in G} \rho_i (zxz^{-1})\;.$$

Así, $ \sum_ {z \in G} \rho_i (zxz^{-1})= \kappa_i (x) \mathbb I$ con una compleja constante $ \kappa_i (x)$ que podemos evaluar tomando el rastro,

$$ \kappa_i (x)= \frac { \mathrm {Tr} \sum_ {z \in G} \rho_i (zxz^{-1})}{ \dim\rho_i }= \frac { \chi_i (x)}{ \chi_i (1)}|G|\;,$$

así que $ \kappa_i (x)$ en función de $x$ es proporcional al carácter irreductible $ \chi_i (x)$ . Así que tenemos

$$ \sum_ {z \in G}f(yzxz^{-1})= \sum_ic_i\kappa_i (x) \mathrm {Tr} \rho_i (y)= \sum_ic_i\kappa_i (x) \chi_i (y)\;,$$

y la ecuación se convierte en

$$f(x) \sum_ic_i\chi_i (y)= \frac {f(1)}{|G|} \sum_ic_i\kappa_i (x) \chi_i (y)\;.$$

Esta es una ecuación entre dos combinaciones lineales de los caracteres irreductibles $ \chi_i (y)$ . Como son linealmente independientes, podemos igualar los coeficientes individualmente:

$$f(x)c_i= \frac {f(1)}{|G|}c_i \kappa_i (x)\;.$$

Para cada uno $i$ con $c_i \neq0 $ esto produce

$$f(x)= \frac {f(1)}{|G|} \kappa_i (x)\;.$$

Pero $ \kappa_i (x)$ es proporcional al carácter irreductible $ \chi_i $ y por lo tanto también lo es $f(x)$ . (De ello se deduce que todos los $c_i$ excepto que a lo sumo uno son cero.)

Answer 2

Antes de responder, me gustaría decir que la diferencia entre lo macroscópico y lo microscópico no se hace en términos de conjuntos de sistemas; de hecho, la mecánica cuántica tiene una interpretación de conjunto. Sobre sus preguntas, mis respuestas son las siguientes:

• Sí. La relatividad general es una teoría precuántica, lo que significa que no tiene en cuenta la estructura discreta de partículas de la materia. En particular, nunca uso el término " teoría fenomenológica ", que considero un nombre equivocado.

• Sí, Einstein, Grossmann y Hilbert ignoraron explícitamente la estructura de la materia cuando desarrollaron la relatividad general.

• No hay una imagen microscópica de la relatividad general, porque esta es una teoría (geo)métrica. De alguna manera, como no hay una imagen microscópica de la óptica geométrica. Por supuesto que hay una imagen microscópica de óptica física que llamamos óptica cuántica. Actualmente se está investigando activamente una gravedad cuántica. Un primer paso es la teoría de campo cuántico de los gravitones cuya "imagen microscópica" se acerca a la de la electrodinámica cuántica.

• Hay muchos casos en los que la aproximación continua de fluidos utilizada en la relatividad general se rompe. Por ejemplo, si hay ondas de choque en los fluidos que interactúan, entonces no pueden ser descritas por un modelo de fluido continuo. Lo mejor que se puede hacer es describir la materia a nivel mesoscópico y la gravedad a nivel macroscópico. Un ejemplo es el El enfoque de Einstein/Vlasov . La materia (por ejemplo, un plasma sin colisiones) se describe por la ecuación cinética de Vlasov, pero $g_{ \mu\nu }$ se obtiene de un tensor de energía-momento aproximado $T_{ \mu\nu }$ que se calcula a partir del promedio sobre la materia con la ayuda de la cinética $f(x,p,t)$ (véase la ecuación 32 en el enlace anterior). Tanto las descripciones mesoscópicas como microscópicas de la gravedad están completamente fuera del alcance de la GR.

• No. Porque el modelo (geo)métrico de la relatividad general no es fundamental, como ya señaló Feynman [1]:

  Es uno de los aspectos peculiares de la teoría de la gravitación, que tiene tanto una interpretación de campo como una interpretación geométrica. La interpretación geométrica no es realmente necesaria o esencial para la física.

  La teoría cuántica subyacente de la gravedad utiliza, esencialmente, el mismo espacio y tiempo que la mecánica cuántica.

• No. Hay muchas analogías termodinámicas defectuosas que se encuentran en la literatura de la relatividad general (la termodinámica de los agujeros negros es la más popular de ellas).

[1] Conferencias de Feynman sobre Gravitación 1995: Addison-Wesley Publishing Company; Massachusetts; John Preskill; Kip S. Thorne (prólogo); Brian Hatfield (editor). Feynman. Richard P.; Morinigo, B. Fernando; Wagner, William G.

Answer 3

Citando el artículo de Wikipedia

$T^{ik}$ representan el flujo de $i^{th}$ componente del impulso lineal a través de la $x^k$ superficie

así que la definición es en realidad microscópica, en el sentido de que se puede en principio calcular el momento para cada partícula de un conjunto. Sin embargo, el flujo de momento corresponde a lo que entendemos por esfuerzo de cizallamiento y presión, así que esto es lo que usaríamos en la práctica. A medida que reducimos el tamaño del sistema nuestra aproximación a los flujos de momento por conceptos macroscópicos se vuelve pobre y sólo ponemos el momento explícitamente.

No tiene sentido que la GR sea una teoría macroscópica, bueno, no hasta que lleguemos a la gravedad cuántica, pero ésta tiene una escala de longitud mucho más pequeña que la que normalmente entendemos por microscópica. Es sólo que podemos querer usar aproximaciones macroscópicas cuando construimos el tensor de energía-estrés.

Answer 4

La relatividad general es una teoría clásica, por lo que tiene sentido en todos los niveles, aunque eso es diferente de ser correcto en todos los niveles (no debería serlo). El tensor de energía-momento no tiene nada que ver intrínsecamente con la mecánica estadística o los fluidos en absoluto. Su tamaño sólo refleja que la gravedad es un campo de spin-2.

Para una partícula con carga $q$ en su marco de descanso con la línea mundial $ \xi ^ \mu ( \tau )$ con cuatro velocidades $u$ en función de su propio tiempo $ \tau $ es que la densidad de la fuente apropiada para el campo de giros 0,1,2 (respectivamente) sería: $$ \rho (x^ \sigma ) = q \int\delta ^4(x^ \sigma - \xi ^ \sigma ( \tau ))\, \mathrm {d} \tau $$ $$J^ \mu (x^ \sigma ) = q \int u^ \mu\delta ^4(x^ \sigma - \xi ^ \sigma ( \tau ))\, \mathrm {d} \tau $$ $$T^{ \mu\nu }(x^ \sigma ) = q \int u^ \mu u^ \nu\delta ^4(x^ \sigma - \xi ^ \sigma ( \tau ))\, \mathrm {d} \tau $$ El campo electromagnético es el spin-1, y la densidad de carga electromagnética es en realidad una corriente de cuatro $J^ \mu $ y no hay nada conceptualmente extraño en una carga solitaria. Sólo significa que la corriente cuádruple se describe usando una función apropiada del delta de Dirac sobre su línea mundial, de una manera ligeramente más complicada que tener una función delta de Dirac para una densidad de carga $ \rho $ .

En general, una corriente de cuatro $J^ \mu $ significa que un observador con cuatro velocidades $v$ mide una densidad de carga $J^ \mu v_ \mu. $ De manera similar, un 2-tensor $T^{ \mu\nu }$ significa que tal observador mide una densidad de cuatro corrientes $T^{ \mu\nu }v_ \mu $ y la densidad de carga $T^{ \mu\nu }v_ \mu v_ \nu $ . Para el GTR, la carga es energía de masa y la cuatro-corriente es el cuatro-momento.

Por lo tanto, microscópicamente, es exactamente la misma teoría.

El problema no es que no podamos conseguir una sensata $T^{ \mu\nu }$ para las masas de puntos ideales. En el espacio tiempo plano, es fácil, y de hecho $T^{ \mu\nu }$ es sensato y útil incluso en STR. El problema es peculiar de la RGT más que de la naturaleza conceptual de $T^{ \mu\nu }$ la teoría dice que el espacio tiempo no será plano y que tendrás un agujero negro con una singularidad. Para tratar de arreglar esto, Einstein inventó el agujero de gusano ("puente de Einstein-Rosen") e intentó reemplazar las partículas puntuales con ellas. Sin embargo, la propuesta no funciona realmente para ese propósito.

Answer 5

No quiero dejar de aceptar la respuesta perfectamente buena de @juranga, pero para futuros visitantes vale la pena registrar que la naturaleza macroscópica de la relatividad general está muy clara en este documento de 1995 en el que Ted Jacobson deriva las ecuaciones de campo de Einstein a partir de $dS = \delta Q/T$ junto con los Bekenstein. (Más algunas otras suposiciones relacionadas con la relatividad especial y el efecto Unruh.)

En los últimos párrafos del documento, Jacobson explica algunas circunstancias en las que las suposiciones termodinámicas que hace podrían fallar. En particular, señala que en su argumento la naturaleza reversible en el tiempo de la evolución del espacio-tiempo surge de un supuesto de casi equilibrio. Esta suposición no se mantendría cerca del big bang y de las singularidades de los agujeros negros, y esto podría llevar a que el espacio-tiempo se comporte de forma termodinámicamente irreversible. Es algo interesante.