Resolver $$ 3x^2 - 2y^2 =1 $$ in $ \mathbb{Z}$.
¿Cómo podemos hacerlo?
( Todas las respuestas que me dio una gran ayuda. Muchas gracias tipo stackexchangers.)
Respuestas
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Stephan Aßmus
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16
Esto es casi la misma información que la Marca de Bennet. No toda la existencia terrena de Marca Bennet, solo de su respuesta. Comenzamos con un automorph de su indefinido de la forma cuadrática. Me gusta llamar a la matriz que va a la derecha de la automorph, así que para mí es
$ $ \ ; = \; \left( \begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} \right) $$ que resuelve $$ \left( \begin{array}{rr} 5 & 6 \\ 4 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) $$
Tenga en cuenta que tenemos $$ A^{-1} \; = \; \left( \begin{array}{rr} 5 & -4 \\ -6 & 5 \end{array} \right) $$
Tomamos la convención $$ A^{0} \; = \; I = \; \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) $$
La clave es que cualquier potencia de $A,$ positivo o negativo o $0,$ es también un automorph, y se lleva a una solución de la ecuación como un vector columna a otra solución. En este caso, todas las soluciones se pueden generar de esta manera como $$ A^n \cdot \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right). $$
Por ejemplo,
$$ \left( \begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 9 \\ 11 \end{array} \right), $$
$$ \left( \begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 6 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 9 \\ 11 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 89 \\ 109 \end{array} \right), $$ mientras tanto $$ \left( \begin{array}{rr} 5 & -4 \\ -6 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right), $$
$$ \left( \begin{array}{rr} 5 & -4 \\ -6 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 9 \\ -11 \end{array} \right). $$ Además, todavía se puede negar ambas entradas. Así que todas las soluciones son $$ \pm A^n \cdot \left( \begin{array}{r} 1 \\ 1 \end{array} \right) $$ con $n \in \mathbb Z.$
Este es el de las páginas 21-34 de Duncan A. Buell, la Formas Cuadráticas Binarias: Teoría Clásica y Moderna Cálculos. Si usted tuvo un gran destino u otra dificultad, como en $3 x^2 - 2 y^2 = 25,$ el automorph idea todavía funciona, pero más "semilla" vectores serían necesarios. Esto se discute en John H. Conway, La Sensual Forma Cuadrática.
Doy un ejemplo de Conway "río" método, incluyendo el necesario diagrama, en Otro cuadrática de la ecuación de Diophantine: ¿Cómo debo proceder?
Recientemente he comprado una casa, escáner, no sólo una página a la vez, pero bastante bien. Aquí, con un poco de suerte, se Conway "Río" diagrama para este problema:
Bueno, está ahí y claro. Nota cómo las formas de expresar $1$ a permanecer cerca del río, y solo hay una manera por ciclo. He escrito en el $x,y$ valores para cada una de las $3x^2 - 2 y^2 = n$ como un vector columna en esa posición. En comparación, si yo quisiera $3x^2 - 2y^2 = 25,$ me gustaría tener varias soluciones por ciclo, por dos razones: para cualquier solución de $3x^2 - 2y^2 = 1,$ me podría multiplicar a través de por $5,$ dando una imprimitive solución por ciclo. También hay dos primitivas de soluciones por ciclo, comenzando con los dos $3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 1^2 = 3 \cdot 11^2 - 2 \cdot 13^2 = 25.$
En caso de que no estaba claro, el negocio con automorphs trabaja junto con el río de la construcción, todo lo que se necesita realmente es correcta identificación de las soluciones en un solo ciclo. Así, todas las soluciones a $3x^2 - 2 y^2 = 25$ $$ \pm A^n \cdot \left( \begin{array}{r} 5 \\ 5 \end{array} \right)\; \; \; \pm A^n \cdot \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \end{array} \right)\; \; \; \pm A^n \cdot \left( \begin{array}{r} 11 \\ 13 \end{array} \right), $$ con $n \in \mathbb Z.$
En caso de que esto tenga sentido, este diagrama es una pequeña sección de una parametrización de $PSL_2 \mathbb Z.$ Todas las soluciones que damos a tener $x \geq 0.$ consigue las otras soluciones mediante la negación de ambos $x,y.$ Bien, las páginas 1-33 en Conway libro.
runeh
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1304
Si $$ 3x^2-2y^2=1$$ then$$(\sqrt 3 x +\sqrt 2 y)(\sqrt 3 x -\sqrt 2 y) = 1$$ and for any $n$ $$(\sqrt 3 x +\sqrt 2 y)^n(\sqrt 3 x -\sqrt 2 y)^n = 1$$
Ahora tenemos la solución a $x_1=y_1=1$ que está representado por $(\sqrt 3 +\sqrt 2 )$
$$(\sqrt 3 +\sqrt 2 )^2 =5+2\sqrt6$$
Ahora, esta no es de la forma $(\sqrt 3 x +\sqrt 2 y)$ $x$ $y$ enteros.
PERO si tenemos un número de la forma $(\sqrt 3 p +\sqrt 2 q)$ podemos comprobar que $$(\sqrt 3 p +\sqrt 2 q)(5+2\sqrt6) = (5p+4q)\sqrt3 + (5q+6p)\sqrt2$$ which is of the correct form. This enables us to generate a new solution from an old one, because, assuming $3p^2-2t^2=1$:
$$3(5p+4q)^2 - 2(5q+6p)^2 = 75p^2+120pq+48q^2-50q^2-120pq-72p^2=3p^2-2q^2=1$$
Esto nos da una recurrencia $x_n= 5x_{n-1}+4y_{n-1}\text{, } y_n=6x_{n-1}+5y_{n-1}$, lo que genera soluciones.
Podemos poner esto en otro sentido: $x_{n-1} = 5x_n-4y_n \text{ and } y_{n-1} = 5y_n-6x_n$
AHORA supongamos que tenemos una solución a la ecuación original. Podemos cambiar el signo de $x$ $y$ si es necesario, de modo que ambos son positivos. Aplicar el descenso de la recurrencia a encontrar una solución con menor $x$ -, pero desde $x$ es un entero positivo, el proceso se tiene que detener, y podemos ver que cada solución se deriva por la recurrencia de $(x,y)=(1,1)$ y, a continuación, teniendo en cuenta la posible aparición de signos.
Hay varias aparentes coincidencias aquí, que son explicados en teoría más general
