Secuencia exacta de las láminas en "Superficies algebraicas complejas" de Beauville

Question

En las primeras páginas de "Superficies algebraicas complejas" de Beauville, tiene una superficie $S$ (suave, proyectiva) y dos curvas $C$ y $C'$ en $S$ . Define $\mathcal{O}_S(C)$ como la gavilla invertible asociada a $C$ . Supongo que si $C$ está dado como divisor de Cartier por $(U_\alpha,f_\alpha)$ entonces $\mathcal{O}_S(C)(U_\alpha)$ es generado por $1/f_\alpha$ (siguiendo la notación de Hartshorne); esta suposición se justifica porque Beauville dice que $\mathcal{O}_S(-C)$ es simplemente la gavilla ideal que define $C$ .

La parte que no entiendo es que luego toma una sección no nula $s\in H^0(\mathcal{O}_S(C))$ (y lo mismo para $s'$ ) y dice que se desvanece en $C$ . ¿No es esta la definición de una sección global de $\mathcal{O}_S(-C)$ aunque (según la notación anterior)?

A continuación, escribe la secuencia exacta (que no entiendo muy bien) $$0\to\mathcal{O}_S(-C-C')\stackrel{(s',-s)}{\to}\mathcal{O}_S(-C)\oplus\mathcal{O}_S(-C')\stackrel{(s,s')}{\to}\mathcal{O}_S\to\mathcal{O}_{C\cap C'}\to 0.$$ Necesito tener claras las definiciones para poder entender la secuencia exacta. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Beauville tiene razón.

a) La única sección global de $\mathcal{O}_S(-C)$ es cero: en efecto $\mathcal{O}_S(-C)=\mathcal I_C\subset \mathcal{O}_S$ es el haz de funciones holomorfas sobre $S$ desapareciendo en $C$ .
En particular, dado que las funciones holomorfas globales en la proyectiva superficie $S$ son constantes, la única función de este tipo que desaparece en $C$ es cero: $ H^0(S,\mathcal O_S(-C))=0\subset H^0(S,\mathcal{O}_S)=\mathbb C$

b) La parte de una sección de $\mathcal O_S(C)$ desapareciendo en $C$ es endiabladamente sutil y, por desgracia, no se explica suficientemente en los libros.
Desde un punto de vista pragmático, la cuestión es que las secciones $s_\alpha \in H^0(U_\alpha,\mathcal O_S(C))$ son funciones meromórficas sobre $U_\alpha$ de la forma $\frac{h_\alpha }{f_\alpha}$ con $h_\alpha\in \mathcal O_S(U_\alpha )$ .
Pero el conjunto de fuga de $s_\alpha$ es la de $h_\alpha $ ¡!
Además, es no es cierto que cada sección $s \in H^0(S,\mathcal O_S(C))$ se desvanece en $C$ .
Lo que sí es cierto es que hay una sección canónica $s_0 \in H^0(S,\mathcal O_S(C))$ desapareciendo exactamente en $C$ .
Y esa sección es...
la función constante $1$ , visto como una sección $1=s_0\in H^0(S,\mathcal O_S(C)$ ¡!
En efecto, el $U_\alpha $ escribir $1=\frac{f_\alpha }{f_\alpha }$ y según la receta pragmática anterior, el lugar cero de esa sección es el de $f_\alpha$ , a saber $C \cap U_\alpha$ .