Un cuadro de contenidos dentro de una caja más grande tiene un área de superficie más pequeña que la caja más grande?

Question

Supongamos que tenemos una caja (paralelepípedo) completamente contenida dentro de otra caja B. Es el área de superficie de Un nessecarily menor que el área de la superficie de la B?

Edit: tenga en cuenta que los lados de Un no nessecarily paralelos a los lados de la B.

Sé que la respuesta es sí, pero la única solución que conozco es muy ondulado.

Answer 1

Una forma de Crofton la fórmula indica que el área de una superficie en $\mathbb R^3$ es proporcional a la integral, sobre todos los planos, de la longitud de la intersección entre el plano y la superficie. (Referencia: Estereología para los Estadísticos, la ecuación 4.13)

Ahora, para cualquier plano, su intersección con el interior de la caja es una curva convexa, la cual está completamente dentro de la intersección con el exterior de la caja. Por otra aplicación de Crofton la fórmula en $\mathbb R^2$, el interior de la curva es más corto. Así que el cuadro interior de la integral es menor. Y así el cuadro interior del área es menor!

Como achille hui señaló en los comentarios, no necesitamos ni el hecho de que los cuerpos son cajas. Sólo necesitamos de ellos para ser convexo.

Answer 2

Uy, me han dado un mal prueba antes. Aquí es una versión corregida:

Deje $K$ ser cualquier cuerpo convexo en $\mathbb{R}^3$, es decir, delimitada subconjunto convexo de $\mathbb{R}^3$ que es convexa (con la no-vacío interior). Deje $u$ ser cualquier dirección representada como un vector unitario en $S^2$. Considere la posibilidad de la proyección ortogonal de a $K$ sobre un plano con vector normal $u$ y deje $f(K,u)$ ser el área de la imagen proyectada.

Cauchy área de la superficie de la fórmula indica que el promedio de $f(K,u)$ $u$ es igual a $\frac14$ de la superficie de $K$. Si nos parametrizar $u$ por esféricas en coordenadas polares $$[0,\pi] \times [0,2\pi] \ni (\theta,\phi) \quad\mapsto\quad u = (\sin\theta\cos\phi\sin\theta\sin\phi\cos\theta) \S^2$$ Esto es equivalente a la integral de la identidad: $$\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} f(K,u(\theta,\phi)) \sin\theta d\theta d\phi = \frac14 \verb/Area/(K)$$

Al $K$ es un cuadro, es fácil comprobar esto por sí mismo. Después de un poco de álgebra, todo se reduce a la evaluación de una integral simple: $$ \frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \max(\cos\theta,0)\sin\theta d\theta d\phi = \frac14$$

De vuelta a nuestro problema, si nos dan dos cajas de $A, B$ tal que $A \subset B$, entonces para todos los vectores unitarios $u$,$f(A,u) \le f(B,u)$. Tomando los promedios de $u$ inmediatamente nos dará $\verb/Area/(A) \le \verb/Area/(B)$.